MATH 1314: College-Algebra
Während vertikale Asymptoten das Verhalten eines Graphen beschreiben, wenn die Ausgabe sehr groß oder sehr klein wird, helfen horizontale Asymptoten dabei, das Verhalten eines Graphen als das zu beschreiben Die Eingabe wird sehr groß oder sehr klein. Denken Sie daran, dass das Endverhalten eines Polynoms das des Leitbegriffs widerspiegelt. Ebenso spiegelt das Endverhalten einer rationalen Funktion das Verhältnis der führenden Terme der Zähler- und Nennerfunktionen wider.
Bei der Überprüfung auf horizontale Asymptoten gibt es drei unterschiedliche Ergebnisse:
Fall 1: Wenn der Grad des Nenners > Grad des Zählers ist, gibt es eine horizontale Asymptote bei y = 0.
Fall 2: Wenn der Grad des Nenners < Grad des Zählers um eins ist, erhalten wir eine schräge Asymptote.
Beachten Sie, dass der Graph einer rationalen Funktion niemals eine vertikale Asymptote kreuzen wird, der Graph jedoch eine horizontale oder schräge als kreuzen kann oder nicht ymptote. Auch wenn der Graph einer rationalen Funktion viele vertikale Asymptoten haben kann, hat der Graph höchstens eine horizontale (oder schräge) Asymptote.
Es sollte beachtet werden, dass, wenn der Grad des Zählers größer ist als der Grad des Nenners um mehr als eins ahmt das Endverhalten des Graphen das Verhalten des reduzierten Endverhaltensanteils nach. Wenn wir zum Beispiel die Funktion
mit Endverhalten
Das Endverhalten des Graphen ähnelt dem eines geraden Polynoms mit einem positiven Leitkoeffizienten.
Ein allgemeiner Hinweis: Horizontale Asymptoten rationaler Funktionen
Die horizontale Asymptote einer rationalen Funktion kann sein bestimmt durch Betrachten der Grade des Zählers und des Nenners.
- Der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners: horizontale Asymptote bei y = 0.
- Grad des Zählers ist um eins größer als der Nenner: keine horizontale Asymptote; schräge Asymptote.
- Der Grad des Zählers entspricht dem Grad des Nenners: horizontale Asymptote im Verhältnis der führenden Koeffizienten.
Beispiel 9: Identifizieren horizontaler und vertikaler Asymptoten
Finden Sie die horizontalen und vertikalen Asymptoten der Funktion
Lösung
Beachten Sie zunächst, dass diese Funktion keine gemeinsamen Faktoren hat, sodass keine potenziellen entfernbaren Diskontinuitäten vorliegen.
Die Funktion weist vertikale Asymptoten auf, wenn der Nenner Null ist, wodurch die Funktion undefiniert wird. Der Nenner ist Null bei x = 1, -2, Text {und} 5 \, was vertikale Asymptoten bei diesen Werten anzeigt.
Der Zähler hat Grad 2, während der Nenner Grad 3 hat. Seit dem Grad Wenn der Nenner größer als der Grad des Zählers ist, wächst der Nenner schneller als der Zähler, was dazu führt, dass die Ausgänge gegen Null tendieren, wenn die Eingänge groß werden, und wenn xto pm infty, flft (xright) auf 0 \. Diese Funktion hat eine horizontale Asymptote bei y = 0 \.
Abbildung 15
Ein allgemeiner Hinweis: Abschnitte rationaler Funktionen
Eine rationale Funktion hat einen y-Abschnitt, wenn die Eingabe erfolgt Null, wenn die Funktion bei Null definiert ist. Eine rationale Funktion hat keinen y-Achsenabschnitt, wenn die Funktion nicht bei Null definiert ist.
Ebenso hat eine rationale Funktion x-Achsenabschnitte an den Eingängen, die bewirken, dass der Ausgang Null ist. Da ein Bruch nur dann gleich Null ist, wenn der Zähler Null ist, können x-Abschnitte nur auftreten, wenn der Zähler der rationalen Funktion gleich Null ist.
Try It 7
Wenn die reziproke Quadratfunktion um 3 Einheiten nach rechts und um 4 Einheiten nach unten verschoben ist, schreiben Sie dies als rationale Funktion. Suchen Sie dann die x- und y-Abschnitte sowie die horizontalen und vertikalen Asymptoten.
Lösung