Pythagoreisches MittelEdit

Arithmetisches Mittel (AM) Bearbeiten

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Zum Beispiel ist das arithmetische Mittel von fünf Werten: 4, 36, 45, 50, 75:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometrisches Mittel (GM) Bearbeiten

Das geometrische Mittel ist ein Durchschnitt, der für Sätze positiver Zahlen nützlich ist, die nach ihrem Produkt (wie es bei Wachstumsraten der Fall ist) und nicht nach ihrer Summe (wie es beim arithmetischen Mittel der Fall ist) interpretiert werden:

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ Anzeigestil {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Zum Beispiel die geometrische Messung n von fünf Werten: 4, 36, 45, 50, 75 ist: (4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ mal 45 \ mal 50 \ mal 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonic Mean (HM) Edit

Das harmonische Mittel ist ein Durchschnitt, der für Sätze von Zahlen nützlich ist, die in Bezug auf eine Einheit definiert sind, wie im Fall der Geschwindigkeit (dh Entfernung pro Zeiteinheit):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Beispielsweise ist das harmonische Mittel der fünf Werte: 4, 36, 45, 50, 75

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Beziehung zwischen AM, GM und HMEdit

AM, GM und HM erfüllen diese Ungleichungen:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Gleichheit gilt genau dann, wenn alle Elemente der angegebenen Stichprobe gleich sind.

Statistischer StandortEdit

In der deskriptiven Statistik kann der Mittelwert mit dem Median, dem Modus oder dem mittleren Bereich verwechselt werden, da jeder dieser Werte als „Durchschnitt“ bezeichnet werden kann (formeller a Maß für die zentrale Tendenz). Der Mittelwert einer Reihe von Beobachtungen ist der arithmetische Durchschnitt der Werte; Bei verzerrten Verteilungen entspricht der Mittelwert jedoch nicht unbedingt dem Mittelwert (Median) oder dem wahrscheinlichsten Wert (Modus). Beispielsweise wird das Durchschnittseinkommen in der Regel von einer kleinen Anzahl von Personen mit sehr hohem Einkommen nach oben verschoben, so dass die Mehrheit ein Einkommen hat, das unter dem Durchschnittseinkommen liegt. Im Gegensatz dazu ist das Durchschnittseinkommen das Niveau, auf dem die Hälfte der Bevölkerung unter und die Hälfte über liegt. Das Modeneinkommen ist das wahrscheinlichste Einkommen und begünstigt die größere Anzahl von Menschen mit geringerem Einkommen. Während der Median und der Modus häufig intuitivere Messgrößen für solche verzerrten Daten sind, lassen sich viele verzerrte Verteilungen am besten anhand ihres Mittelwerts beschreiben, einschließlich der Exponential- und Poisson-Verteilungen.

Mittelwert einer WahrscheinlichkeitsverteilungEdit

Der Mittelwert einer Wahrscheinlichkeitsverteilung ist der langfristige arithmetische Durchschnittswert einer Zufallsvariablen mit dieser Verteilung. Wenn die Zufallsvariable mit X {\ displaystyle X} bezeichnet wird, wird sie auch als Erwartungswert von X {\ displaystyle X} bezeichnet (bezeichnet mit E (X) {\ displaystyle E (X)}). Für eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ist der Mittelwert gegeben durch ∑ x P (x) {\ Anzeigestil \ Textstil \ Summe xP (x)}, wobei die Summe über alle möglichen Werte der Zufallsvariablen und P (x) {\ übernommen wird Anzeigestil P (x)} ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion. Für eine kontinuierliche Verteilung ist der Mittelwert ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, wobei f (x) { \ displaystyle f (x)} ist die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion. In allen Fällen, einschließlich derer, in denen die Verteilung weder diskret noch kontinuierlich ist, ist der Mittelwert das Lebesgue-Integral der Zufallsvariablen in Bezug auf ihr Wahrscheinlichkeitsmaß.Der Mittelwert muss nicht existieren oder endlich sein; Für einige Wahrscheinlichkeitsverteilungen ist der Mittelwert unendlich (+ ∞ oder −∞), während für andere der Mittelwert undefiniert ist.

Verallgemeinerte MittelwerteEdit

PotenzmittelwertEdit

Die Das verallgemeinerte Mittel, auch als Potenzmittel oder Hölder-Mittel bekannt, ist eine Abstraktion der quadratischen, arithmetischen, geometrischen und harmonischen Mittel. Es ist für eine Menge von n positiven Zahlen xi definiert durch

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Durch Auswahl Unterschiedliche Werte für den Parameter m, die folgenden Arten von Mitteln werden erhalten:

f-meanEdit

Dies kann weiter verallgemeinert werden als das verallgemeinerte f-mean

x = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

und wieder ergibt eine geeignete Wahl eines invertierbaren f

Weighted Arithmetic MeanEdit

Das gewichtete arithmetische Mittel (oder der gewichtete Durchschnitt) wird verwendet, wenn Durchschnittswerte aus Stichproben unterschiedlicher Größe derselben Population kombiniert werden sollen:

x = i = 1 nwixi = i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Abgeschnittener MittelwertEdit

Manchmal kann eine Reihe von Zahlen Ausreißer enthalten (dh Datenwerte, die viel niedriger oder viel höher als die sind Andere). Ausreißer sind häufig fehlerhafte Daten, die durch Artefakte verursacht werden. In diesem Fall kann ein abgeschnittener Mittelwert verwendet werden. Dabei werden bestimmte Teile der Daten am oberen oder unteren Ende verworfen, normalerweise an jedem Ende gleich viel, und dann das arithmetische Mittel der verbleibenden Daten ermittelt. Die Anzahl der entfernten Werte wird als Prozentsatz der Gesamtzahl der Werte angegeben.

InterquartilmittelwertEdit

Der Interquartilmittelwert ist ein spezifisches Beispiel für einen abgeschnittenen Mittelwert. Es ist einfach das arithmetische Mittel nach dem Entfernen des niedrigsten und des höchsten Viertel der Werte.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

unter der Annahme, dass die Werte geordnet wurden, ist dies lediglich ein spezifisches Beispiel für einen gewichteten Mittelwert für einen bestimmten Satz von Gewichten.

Mittelwert einer FunktionEdit

Unter bestimmten Umständen können Mathematiker einen Mittelwert aus einer unendlichen (oder sogar unzähligen) Menge von Werten berechnen. Dies kann passieren, wenn der Mittelwert y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} einer Funktion f (x) {\ displaystyle f (x)} berechnet wird. Intuitiv kann man sich einen Mittelwert einer Funktion so vorstellen, dass er die Fläche unter einem Abschnitt einer Kurve berechnet und dann durch die Länge dieses Abschnitts dividiert. Dies kann grob durch Zählen von Quadraten auf Millimeterpapier oder genauer durch Integration erfolgen. Die Integrationsformel lautet wie folgt:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ begrenzt _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

In diesem Fall muss darauf geachtet werden, dass das Integral konvergiert. Der Mittelwert kann jedoch endlich sein, selbst wenn die Funktion selbst an einigen Punkten gegen unendlich tendiert.

Mittelwert der Winkel und zyklischen GrößenEdit

Winkel, Tageszeiten und andere zyklische Größen erfordern modular Arithmetik zum Hinzufügen und anderweitigen Kombinieren von Zahlen. In all diesen Situationen wird es keinen eindeutigen Mittelwert geben. Zum Beispiel sind die Zeiten eine Stunde vor und nach Mitternacht gleich weit von Mitternacht und Mittag entfernt. Es ist auch möglich, dass kein Mittelwert existiert. Stellen Sie sich ein Farbrad vor – es gibt keinen Mittelwert für die Menge aller Farben. In diesen Situationen müssen Sie entscheiden, welcher Mittelwert am nützlichsten ist. Sie können dies tun, indem Sie die Werte vor der Mittelwertbildung anpassen oder einen speziellen Ansatz für den Mittelwert der kreisförmigen Größen verwenden.

Fréchet meanEdit

Der Fréchet-Mittelwert gibt eine Möglichkeit zur Bestimmung des “ Zentrum „einer Massenverteilung auf einer Oberfläche oder allgemeiner Riemannschen Mannigfaltigkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Mitteln wird der Fréchet-Mittelwert in einem Raum definiert, dessen Elemente nicht unbedingt addiert oder mit Skalaren multipliziert werden müssen. Er wird manchmal auch als Karcher-Mittelwert (benannt nach Hermann Karcher) bezeichnet.

Swanson “ s ruleEdit

Dies ist eine Annäherung an den Mittelwert für eine mäßig verzerrte Verteilung. Sie wird bei der Kohlenwasserstoffexploration verwendet und ist definiert als

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0,3P_ {10} + 0,4P_ {50} + 0,3P_ {90}}

wobei P10, P50 und P90 das 10., 50. und 90. Perzentil der Verteilung sind.

Andere Mittel Bearbeiten