Det elektriske feltet i nærheten av en veldig lang enhetlig ladet trådredigering

Som vi har sett, er det elektriske feltet rundt en punktladning sfærisk symmetrisk og omvendt proporsjonalt med kvadratet til avstanden. Det er to andre geometriske konfigurasjoner det er verdt å se på.

Hvis vi har en «uendelig lang» lineær samling av jevnt fordelt ladning (det vil si en langadet ledning), kan vi bestemme det nærliggende elektriske feltet ved integrering. La ladningen per lengdeenhet være λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs per meter.

På et gitt punkt på avstand b {\ displaystyle b} fra ledningen, er bidraget til feltet fra en uendelig liten del av ledningen med lengden d ℓ {\ displaystyle d \ ell} er:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Komponenten i den vektoren som peker vinkelrett bort fra ledningen er:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ venstre. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} høyre | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Feltet peker vinkelrett vekk fra ledningen, og er omvendt proporsjonalt med den første kraften til separasjonsavstanden.

Gjør ledningen må være uendelig lang? Nei; dette er bare en tilnærming til den uendelige grensen. Tilnærmingen er god så lenge man er mye nærmere ledningen enn ledningens lengde.

Det elektriske feltet i nærheten av et veldig stort, ensartet ladet planEdit

En annen veldig viktig geometrisk konfigurasjon er et «uendelig stort» flatt plan med jevn ladningsfordeling. Vi deler planet i mange tynne parallelle strimler med bredde dl. Hvis ladetettheten per arealenhet av planet er σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs per kvadratmeter, hver stripen har en lineær ladetetthet på

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs per meter.

Vi bruker resultatet av forrige seksjon, og i det vesentlige det samme diagrammet. Stripene løper nå inn eller ut av siden / skjermen, og stripene «tverrsnitt vises fra venstre mot høyre på diagrammet. Feltet ved interessepunktet er:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Komponenten oppover (ved symmetri vil det totale feltet peke vinkelrett ut av planet) er:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Den totale komponenten oppover i feltet oppnås ved å integrere:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ venstre. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Feltet peker vinkelrett bort fra planet, og er uavhengig av separasjonsavstanden. Det vil si at den er uavhengig så lenge man holder seg så nær planet at det ser ut til å være nesten uendelig.

Anvendelse: Det elektriske feltet inne i en parallellplatekondensatorEdit

Newtons lover antar at nettokraften er summen av alle krefter, ma = ΣFj (sum over j). Siden det elektriske feltet, E, er definert gjennom Coulombs lov via F = qE, den enkleste mulige antagelsen er at det elektriske feltet er summen av de enkelte elektriske feltene på grunn av hver ladning. Dette prinsippet kalles superposisjon (eller lineær superposisjon), og det holder i det minste ned til størrelsene mindre enn atomkjernen. Faktisk har vi implisitt antatt superposisjon ved å integrere for å oppnå det elektriske feltet på grunn av linje- og overflateladninger. Som vist på figuren, legger de elektriske feltene konstruktivt til i rommet mellom platene.De legger destruktivt (dvs. de trekker fra) utenfor de to platene og legger til null elektrisk felt. Derfor er det elektriske feltet mellom platene

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)