Uavhengige og gjensidig utelukkende betyr ikke det samme.

Uavhengige hendelser

To hendelser er uavhengige hvis følgende er sanne:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A OG B) = P (A) P (B)

To hendelser A og B er uavhengige hvis kunnskapen om at en skjedde ikke påvirker sjansen den andre oppstår. For eksempel er resultatene av to roller til en rettferdig død uavhengige hendelser. Utfallet av første kast endrer ikke sannsynligheten for utfallet av andre kast. For å vise at to hendelser er uavhengige, må du bare vise en av de ovennevnte forholdene.

Hvis to hendelser IKKE er uavhengige, så sier vi at de er avhengige.

Prøvetaking kan gjøres med erstatning eller uten erstatning.

• Med erstatning: Hvis hvert medlem av en befolkning blir erstattet etter at den er plukket, har medlemmet muligheten til å bli valgt mer enn en gang. Når prøvetaking utføres med erstatning, anses hendelser å være uavhengige, noe som betyr at resultatet av den første plukkingen ikke vil endre sannsynligheten for den andre plukkingen.
• Uten erstatning: Når prøvetaking utføres uten erstatning, hver medlem av en befolkning kan bare velges én gang. I dette tilfellet påvirkes sannsynlighetene for andre valg av resultatet av første valg. Hendelsene anses å være avhengige eller ikke uavhengige.

Hvis det ikke er kjent om A og B er uavhengige eller avhengige, antar du at de er avhengige til du kan vise noe annet.

1. Prøvetaking med erstatning: Anta at du velger tre kort med erstatning. Det første kortet du plukker ut av de 52 kortene, er sparekvoten. Du setter dette kortet tilbake, stokker kortene og velger et andre kort fra 52-kortstokken. Det er de ti klubbene. Du legger dette kortet tilbake, stokker kortene og velger et tredje kort fra 52-kortstokken. Denne gangen er kortet Q-spadene igjen. Valgene dine er {Q av spar, ti av klubber, Q av spar). Du har valgt Q-spadene to ganger. Du velger hvert kort fra 52-kortstokken.
2. Prøvetaking uten erstatning: Anta at du velger tre kort uten erstatning. Det første kortet du velger ut av de 52 kortene er hjerter av K. Du legger dette kortet til side og velger det andre kortet fra de 51 kortene som er igjen i kortstokken. Det er de tre diamantene. Du legger dette kortet til side og velger det tredje kortet fra de resterende 50 kortene i kortstokken. Det tredje kortet er J av spar. Dine valg er {K av hjerter, tre av diamanter, J av spader}. Fordi du har plukket kortene uten erstatning, kan du ikke velge det samme kortet to ganger.

Eksempel 1

1. Anta at du vet at de plukkede kortene er Q av spader, K av hjerter og Q av spader. Kan du bestemme om prøvetakingen var med eller uten erstatning?
   Vis svar

   Prøvetaking med erstatning

2. Anta at du vet at de valgte kortene er Q av spar, K av hjerter og J av spar. Kan du bestemme om prøvetakingen var med eller uten erstatning?
   Vis svar

   Nei, vi kan ikke se om prøvetakingen var med eller uten erstatning.

Eksempel 2

1. Anta at du velger fire kort, men ikke legger noen kort tilbake i kortstokken. Kortene dine er QS, 1D, 1C, QD.
2. Anta at du velger fire kort og legger tilbake hvert kort før du velger neste kort. Kortene dine er KH, 7D, 6D, KH.

Hvilken av 1 eller 2 prøvde du med erstatning og hvilken prøvde du uten erstatning?

Denne videoen gir en kort leksjon om å finne sannsynligheten for uavhengige hendelser.

Gjensidig eksklusive hendelser

A og B er gjensidig utelukkende hendelser hvis de ikke kan forekomme på samme tid. Dette betyr at A og B ikke deler noen utfall, og P (A OG B) = 0.

Anta for eksempel at prøveområdet S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
La A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} og C = {7, 9}.

Hvis det ikke er kjent om A og B utelukker hverandre, kan du anta at det ikke er før du kan vise noe annet. Følgende eksempler illustrerer disse definisjonene og begrepene.

Eksempel 3

Vend to rettferdige mynter. (Dette er et eksperiment.)

Eksempelområdet er {HH, HT, TH, TT} der T = haler og H = hoder. De mulige resultatene er HH, HT, TH og TT. Resultatene HT og TH er forskjellige. HT betyr at den første mynten viste hoder og den andre mynten viste haler. TH betyr at den første mynten viste haler og den andre mynten viste hoder.

Eksempel 4

Vend to rettferdige mynter.Finn sannsynlighetene for hendelsene.

1. La F = hendelsen for å få maksimalt en hale (null eller en hale).
2. La G = hendelsen for å få to ansikter som er de samme.
3. La H = hendelsen med å få et hode på den første flippen etterfulgt av et hode eller en hale på den andre flippen.
4. Er F og G gjensidig utelukkende ?
5. La J = hendelsen med å få alle haler. Er J og H gjensidig utelukkende?

Denne videoen gir to eksempler på å finne sannsynligheten for hendelser som er gjensidig utelukkende.

Eksempel 5

Rull en rettferdig, seksidig dør. Eksempelområdet er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La hendelsen
A = et ansikt er rart. Deretter A = {1, 3, 5}. La hendelse B = et ansikt er jevnt. Da er B = {2, 4, 6}.

Eksempel 6

Tips: Hvis G og H er uavhengige, må du vise EN av følgende:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G OG H) = P (G) P ( H)

Siden G og H er uavhengige, endrer ikke viten om at en person tar en naturfagskurs sjansen for at han eller hun tar en matematikktime. Hvis de to hendelsene ikke hadde vært uavhengige (det vil si at de er avhengige), ville det å vite at en person tar en naturfagskurs endre sjansen for at han eller hun tar matte.

Eksempel 7

La hendelse C = ta en engelsk klasse. La hendelsen D = ta en taleklasse.

Anta at P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 og P (C OG D) = 0,225.

Begrunn svarene på følgende spørsmål numerisk.

Eksempel 8

I en boks er det tre røde kort og fem blå kort. De røde kortene er merket med tallene 1, 2 og 3, og de blå kortene er merket med tallene 1, 2, 3, 4 og 5. Kortene er godt blandet. Du stikker inn i boksen (du kan ikke se inn i den) og trekker ett kort.

La R = rødt kort trekkes, B = blått kort trekkes, E = partall kort trekkes.

Prøveområdet S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S har åtte utfall.

Eksempel 9

I en bestemt college-klasse er 60% av udents er kvinner. Femti prosent av alle elevene i klassen har langt hår. 45 prosent av studentene er kvinner og har langt hår. Av de kvinnelige studentene har 75% langt hår. La F være hendelsen at en student er kvinne. La L være hendelsen at en student har langt hår. Én student blir plukket ut tilfeldig. Er hendelsene med å være kvinne og ha langt hår uavhengig?

• Følgende sannsynligheter er gitt i dette eksemplet:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F OG L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Tolkning av resultater

Hendelsene med å være kvinne og ha langt hår er ikke uavhengige; å vite at en student er kvinne endrer sannsynligheten for at en student har langt hår.

Eksempel 10

Data fra Gallup. Tilgjengelig online på www.gallup.com/ (åpnet 2. mai 2013).

Concept Review

To hendelser A og B er uavhengige hvis kunnskapen om at en skjedde ikke påvirker sjansen den andre oppstår. Hvis to hendelser ikke er uavhengige, så sier vi at de er avhengige.

Ved prøvetaking med erstatning blir hvert medlem av en populasjon erstattet etter at den er valgt, slik at medlemmet har muligheten til å bli valgt mer enn en gang, og hendelsene anses å være uavhengige. Ved prøvetaking uten erstatning kan hvert medlem av en befolkning bare velges én gang, og hendelsene anses ikke å være uavhengige. Når hendelser ikke deler utfall, utelukker de hverandre.

Formelgjennomgang

Hvis A og B er uavhengige, er P (A OG B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) og P (B | A) = P (B).

Hvis A og B utelukker hverandre, er P (A ELLER B) = P (A) + P (B) og P (A OG B) = 0.