AlgebraEdit

GroupsEdit

Gitt en gruppe G {\ displaystyle G} og en filtrering G n {\ displaystyle G_ {n}}, er det en naturlig måte å definere en topologi på G {\ displaystyle G}, sies å være assosiert med filtrering. Et grunnlag for denne topologien er settet med alle oversettelser av undergrupper som vises i filtreringen, det vil si at et delsett av G {\ displaystyle G} er definert som åpent hvis det er en forening av sett med formen a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, hvor a ∈ G {\ displaystyle a \ i G} og n {\ displaystyle n} er et naturlig tall.

Topologien knyttet til en filtrering på en gruppe G {\ displaystyle G} gjør G {\ displaystyle G} til en topologisk gruppe.

Ringer og moduler: synkende filtreringerRediger

Gitt en ring R {\ displaystyle R} og en R {\ displaystyle R} -modul M {\ displaystyle M}, en synkende filtrering av M {\ displaystyle M} er en avtagende sekvens av submoduler M n {\ displaystyle M_ {n}}. Dette er derfor et spesielt tilfelle av begrepet for grupper, med den tilleggsbetingelsen at undergruppene er submoduler. Den tilknyttede topologien er definert som for grupper.

Ringer og moduler: stigende filtreringerEdit

SetsEdit

MålteoriEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ innebærer {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Det eksakte området for «tidene» t {\ displaystyle t} vil vanligvis avhenge av kontekst: verdisettet for t {\ displaystyle t} kan være diskret eller kontinuerlig, avgrenset eller ubegrenset. For eksempel

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 eller {\ mbox {eller}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

En σ-algebra definerer settet med hendelser som kan måles, noe som i en sannsynlighetskontekst tilsvarer hendelser som kan diskrimineres, eller «spørsmål som kan besvares på tide t {\ displaystyle t } «. Derfor blir en filtrering ofte brukt til å representere endringen i settet av hendelser som kan måles gjennom gevinst eller tap av informasjon. Et typisk eksempel er i matematisk økonomi, hvor en filtrering representerer informasjonen tilgjengelig til og med hver gang t {\ displaystyle t}, og er mer og mer presis (settet med målbare hendelser holder seg uendret eller øker) som mer informasjon fra utviklingen i aksjekursen blir tilgjengelig.

Forhold til stopptid: stoppetid sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ i {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.