Pythagorean MeansEdit

Aritmetisk gjennomsnitt (AM) Rediger

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ venstre ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

For eksempel er det aritmetiske gjennomsnittet av fem verdier: 4, 36, 45, 50, 75:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometrisk gjennomsnitt (GM) Rediger

Det geometriske gjennomsnittet er en gjennomsnitt som er nyttig for sett med positive tall, som tolkes i henhold til deres produkt (som tilfellet er med vekstrater) og ikke deres sum (som det er tilfellet med det aritmetiske gjennomsnittet):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ høyre) ^ {\ frac {1} {n}} = \ venstre (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ høyre) ^ {\ frac {1} {n}}}

For eksempel det geometriske mea n av fem verdier: 4, 36, 45, 50, 75 er:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ ganger 36 \ ganger 45 \ ganger 50 \ ganger 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonisk gjennomsnitt (HM) Rediger

Det harmoniske gjennomsnittet er et gjennomsnitt som er nyttig for sett med tall som er definert i forhold til en enhet, som i tilfelle hastighet (dvs. avstand per tidsenhet):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

For eksempel er det harmoniske gjennomsnittet av de fem verdiene: 4, 36, 45, 50, 75

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Forholdet mellom AM, GM og HMEdit

AM, GM og HM tilfredsstiller disse ulikhetene:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Likhet gjelder hvis og bare hvis alle elementene i den gitte prøven er like.

Statistisk plasseringEdit

I beskrivende statistikk kan gjennomsnittet forveksles med medianen, modusen eller mellomområdet, da noen av disse kan kalles et «gjennomsnitt» (mer formelt mål på sentral tendens). Gjennomsnittet av et sett observasjoner er det aritmetiske gjennomsnittet av verdiene; for skjevfordelinger er imidlertid gjennomsnittet ikke nødvendigvis det samme som middelverdien (median) eller den mest sannsynlige verdien (modus). For eksempel er gjennomsnittlig inntekt typisk skjev oppover av et lite antall mennesker med veldig store inntekter, slik at flertallet har lavere inntekt enn gjennomsnittet. Derimot er medianinntekten det nivået hvor halvparten av befolkningen er under og halvparten er over. Modeinntekten er den mest sannsynlige inntekten og favoriserer det større antallet mennesker med lavere inntekt. Mens median og modus ofte er mer intuitive mål for slike skjev data, er mange skjevfordelinger faktisk best beskrevet av gjennomsnittet, inkludert eksponentiell og Poisson-fordeling.

Gjennomsnitt for en sannsynlighetsfordelingEdit

Gjennomsnittet av en sannsynlighetsfordeling er den langsiktige aritmetiske gjennomsnittsverdien til en tilfeldig variabel som har den fordelingen. Hvis den tilfeldige variabelen er betegnet med X {\ displaystyle X}, er den også kjent som den forventede verdien av X {\ displaystyle X} (betegnet E (X) {\ displaystyle E (X)}). For en diskret sannsynlighetsfordeling er gjennomsnittet gitt av ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, hvor summen blir tatt over alle mulige verdier av den tilfeldige variabelen og P (x) {\ displaystyle P (x)} er sannsynlighetsmassefunksjonen. For en kontinuerlig fordeling er gjennomsnittet ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, hvor f (x) { \ displaystyle f (x)} er sannsynlighetstetthetsfunksjonen. I alle tilfeller, inkludert de der distribusjonen verken er diskret eller kontinuerlig, er gjennomsnittet Lebesgue-integralen av den tilfeldige variabelen med hensyn til sannsynlighetsmåling.Gjennomsnittet trenger ikke eksistere eller være endelig; for noen sannsynlighetsfordelinger er gjennomsnittet uendelig (+ ∞ eller −∞), mens for andre er gjennomsnittet udefinert.

Generelt betyr Rediger

Effekt middel Rediger

generalisert middel, også kjent som kraftmiddel eller Hölder-middel, er en abstraksjon av kvadratiske, aritmetiske, geometriske og harmoniske midler. Det er definert for et sett med n positive tall xi av

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Ved å velge forskjellige verdier for parameteren m oppnås følgende typer midler:

f-meanEdit

Dette kan generaliseres videre som det generaliserte f-middel

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

og igjen vil et passende valg av en inverterbar f gi

Vektet aritmetisk middel Rediger

Det vektede aritmetiske gjennomsnittet (eller det veide gjennomsnittet) brukes hvis man ønsker å kombinere gjennomsnittsverdier fra forskjellige størrelsesprøver av samme populasjon:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Avkortet meanEdit

Noen ganger kan et sett med tall inneholde outliers (dvs. dataverdier som er mye lavere eller mye høyere enn andre). Ofte er avvikere feil data forårsaket av gjenstander. I dette tilfellet kan man bruke et avkortet middel. Det innebærer å kaste gitte deler av dataene øverst eller nederst, vanligvis like mye i hver ende, og deretter ta det aritmetiske gjennomsnittet av de gjenværende dataene. Antallet verdier som er fjernet, er angitt som en prosentandel av det totale antallet verdier.

Interkvartil gjennomsnitt Rediger

Interkvartil gjennomsnitt er et spesifikt eksempel på et avkortet gjennomsnitt. Det er ganske enkelt det aritmetiske gjennomsnittet etter å ha fjernet det laveste og det høyeste kvartalet verdier.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

forutsatt at verdiene er ordnet, er det ganske enkelt et spesifikt eksempel på et vektet gjennomsnitt for et bestemt sett med vekter.

Gjennomsnitt for en funksjon Rediger

I noen tilfeller kan matematikere beregne et gjennomsnitt av et uendelig (eller til og med et utallig) verdisett. Dette kan skje når du beregner gjennomsnittsverdien y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} for en funksjon f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivt kan man tenke på et middel for en funksjon som å beregne arealet under et snitt av en kurve, og deretter dele med lengden på den seksjonen. Dette kan gjøres grovt ved å telle firkanter på grafpapir, eller mer presist ved integrering. Integreringsformelen er skrevet som:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

I dette tilfellet må du være forsiktig med å sikre at integralen konvergerer. Men gjennomsnittet kan være endelig selv om selve funksjonen har en tendens til uendelig på noen punkter.

Gjennomsnitt for vinkler og sykliske størrelser Rediger

Vinkler, tider på dagen og andre sykliske størrelser krever modulær aritmetikk for å legge til og ellers kombinere tall. I alle disse situasjonene vil det ikke være et unikt middel. For eksempel er tidene i timen før og etter midnatt like langt fra midnatt og middagstid. Det er også mulig at det ikke finnes noe middel. Tenk på et fargehjul – det er ikke noe middel til settet med alle farger. I disse situasjonene må du bestemme hvilket middel som er mest nyttig. Du kan gjøre dette ved å justere verdiene før gjennomsnittet, eller ved å bruke en spesialtilnærming for gjennomsnittet av sirkulære størrelser.

Fréchet meanEdit

Fréchet-gjennomsnittet gir en måte å bestemme » sentrum «for en massefordeling på en overflate eller, mer generelt, Riemannian manifold. I motsetning til mange andre måter er Fréchet-gjennomsnittet definert på et rom der elementene ikke nødvendigvis kan legges sammen eller multipliseres med skalarer. Det er noen ganger også kjent som Karcher-middelet (oppkalt etter Hermann Karcher).

Swanson » s ruleEdit

Dette er en tilnærming til gjennomsnittet for en moderat skjev fordeling. Den brukes i leting etter hydrokarbon og er definert som

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

der P10, P50 og P90 10., 50. og 90. persentil av distribusjonen.

Andre midler Rediger