Het elektrische veld nabij een zeer lange gelijkmatig geladen draad Bewerken

Zoals we hebben gezien, is het elektrische veld rond een puntlading sferisch symmetrisch en omgekeerd evenredig met het kwadraat van de afstand. Er zijn twee andere geometrische configuraties die het bekijken waard zijn.

Als we een ‘oneindig lange’ lineaire verzameling gelijkmatig verdeelde lading hebben (dat wil zeggen, een lange geladen draad), kunnen we bepalen het nabije elektrische veld door integratie. Stel dat de lading per lengte-eenheid λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs per meter is.

Op een bepaald punt op afstand b {\ displaystyle b} van de draad, is de bijdrage aan het veld uit een oneindig klein stuk draad met een lengte d ℓ {\ displaystyle d \ ell} is:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

De component van die vector die loodrecht van de draad af wijst is:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ Displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Het veld wijst loodrecht weg van de draad en is omgekeerd evenredig met de eerste macht van de scheidingsafstand.

Is de draad moet oneindig lang zijn? Nee; dit is slechts een benadering van de oneindige limiet. De benadering is goed zolang men zich veel dichter bij de draad bevindt dan de lengte van de draad.

Het elektrische veld nabij een zeer groot gelijkmatig geladen vliegtuig Bewerken

Nog een zeer belangrijke geometrische configuratie is een “oneindig groot” vlak vlak met uniforme ladingsverdeling. We verdelen het vlak in vele dunne parallelle stroken met een breedte dl. Als de ladingsdichtheid per oppervlakte-eenheid van het vlak σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs per vierkante meter strip heeft een lineaire ladingsdichtheid van

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs per meter.

We gebruiken het resultaat van de vorige sectie, en in wezen hetzelfde diagram. De stroken lopen nu de pagina / het scherm in of uit en de doorsneden van de stroken verschijnen van links naar rechts op het diagram. Het veld op het interessante punt is:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

De opwaartse component (door symmetrie zal het totale veld loodrecht uit de vlak) is:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

De totale opwaartse component van het veld wordt verkregen door te integreren:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Het veld wijst loodrecht weg van het vlak en is onafhankelijk van de scheidingsafstand. Dat wil zeggen, het is onafhankelijk zolang men zo dicht bij het vlak blijft dat het bijna oneindig lijkt te zijn.

Toepassing: het elektrische veld in een parallelle plaatcondensator Bewerken

De wetten van Newton gaan ervan uit dat de netto kracht de som is van alle krachten, ma = ΣFj (som over j). Aangezien het elektrische veld, E, wordt gedefinieerd door De wet van Coulomb via F = qE, de eenvoudigste aanname is dat het elektrische veld de som is van de individuele elektrische velden als gevolg van elke lading. Dit principe wordt superpositie (of lineaire superpositie) genoemd en het is in ieder geval kleiner dan de atoomkern. In feite hebben we impliciet superpositie aangenomen door te integreren om het elektrische veld te verkrijgen als gevolg van lijn- en oppervlakteladingen. Zoals getoond in de figuur, voegen de elektrische velden zich constructief toe in de ruimte tussen de platen.Ze voegen destructief toe (d.w.z. ze trekken af) buiten de twee platen en tellen op tot nul elektrisch veld. Daarom is het elektrische veld tussen de platen

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)