Onafhankelijk en wederzijds exclusief betekenen niet hetzelfde.

Onafhankelijke gebeurtenissen

Twee gebeurtenissen zijn onafhankelijk als de volgende zijn waar:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A EN B) = P (A) P (B)

Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als de wetenschap dat de ene heeft plaatsgevonden geen invloed heeft op de kans dat de andere plaatsvindt. De uitkomsten van twee rollen van een eerlijke dobbelsteen zijn bijvoorbeeld onafhankelijke gebeurtenissen. De uitkomst van de eerste worp verandert niets aan de kans op de uitkomst van de tweede worp. Om aan te geven dat twee evenementen onafhankelijk zijn, moet u slechts een van de bovenstaande voorwaarden weergeven.

Als twee evenementen NIET onafhankelijk zijn, zeggen we dat ze afhankelijk zijn.

Er kan worden gesampled met vervanging of zonder vervanging.

• Met vervanging: als elk lid van een populatie wordt vervangen nadat het is gekozen, heeft dat lid de mogelijkheid om meer dan eens te worden gekozen. Wanneer bemonstering wordt gedaan met vervanging, worden gebeurtenissen als onafhankelijk beschouwd, wat betekent dat het resultaat van de eerste keuze de kansen voor de tweede keuze niet zal veranderen.
• Zonder vervanging: wanneer bemonstering wordt gedaan zonder vervanging, zal elke lid van een populatie mag slechts één keer worden gekozen. In dit geval worden de kansen voor de tweede keuze beïnvloed door het resultaat van de eerste keuze. De gebeurtenissen worden als afhankelijk of niet onafhankelijk beschouwd.

Als niet bekend is of A en B onafhankelijk of afhankelijk zijn, ga er dan van uit dat ze afhankelijk zijn totdat je iets anders kunt aantonen.

1. Bemonstering met vervanging: stel dat u drie kaarten kiest met vervanging. De eerste kaart die je uit de 52 kaarten kiest, is de
   Q van schoppen. Je legt deze kaart terug, schudt de kaarten en pakt een tweede kaart uit de stapel van 52 kaarten. Het zijn de tien van clubs. Je legt deze kaart terug, schudt de kaarten en pakt een derde kaart uit de stapel van 52 kaarten. Deze keer is de kaart weer de Q van schoppen. Uw keuze is {Q van schoppen, tien van klaveren, Q van schoppen}. Je hebt tweemaal de Q van schoppen gekozen. Je kiest elke kaart uit het kaartspel van 52 kaarten.
2. Bemonstering zonder vervanging: stel dat je drie kaarten kiest zonder vervanging. De eerste kaart die je uit de 52 kaarten kiest, is de
   K harten. Je legt deze kaart opzij en pakt de tweede kaart uit de 51 resterende kaarten in de stapel. Het zijn de drie diamanten. Je legt deze kaart opzij en pakt de derde kaart van de resterende 50 kaarten in de stapel. De derde kaart is de J van schoppen. Uw keuze is {K harten, drie ruiten, J schoppen}. Omdat je de kaarten zonder vervanging hebt gepakt, kun je dezelfde kaart niet twee keer kiezen.

Voorbeeld 1

1. Stel dat je weet dat de gekozen kaarten Q van schoppen, harten K en schoppen Q. Kunt u beslissen of de steekproef met of zonder vervanging was?
   Antwoord weergeven

   Steekproeven met vervanging

2. Stel dat je weet dat de gekozen kaarten Q van schoppen, K van harten en J van schoppen zijn. Kunt u beslissen of de steekproef met of zonder vervanging was?
   Antwoord weergeven

   Nee, we kunnen niet zeggen of de steekproef met of zonder vervanging.

Voorbeeld 2

1. Stel dat je vier kaarten kiest, maar geen kaarten terug in de stapel legt. Je kaarten zijn QS, 1D, 1C, QD.
2. Stel dat je vier kaarten kiest en elke kaart teruglegt voordat je de volgende kaart kiest. Uw kaarten zijn KH, 7D, 6D, KH.

Welke van de 1 of 2 heeft u getest met vervanging en welke heeft u getest zonder vervanging?

Deze video biedt een korte les over het vinden van de waarschijnlijkheid van onafhankelijke evenementen.

Wederzijds exclusieve evenementen

A en B zijn wederzijds exclusieve evenementen als ze niet kunnen plaatsvinden in de dezelfde tijd. Dit betekent dat A en B geen uitkomsten delen en P (A AND B) = 0.

Stel bijvoorbeeld dat de steekproefruimte S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Stel A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} en C = {7, 9}.

Als niet bekend is of A en B elkaar uitsluiten, neem dan aan dat dit pas het geval is als u het tegendeel kunt aantonen. De volgende voorbeelden illustreren deze definities en termen.

Voorbeeld 3

Draai twee eerlijke munten om. (Dit is een experiment.)

De monsterruimte is {HH, HT, TH, TT} waar T = staarten en H = koppen. De mogelijke uitkomsten zijn HH, HT, TH en TT. De uitkomsten HT en TH zijn verschillend. De HT betekent dat de eerste munt kop had en de tweede munt munt. De TH betekent dat de eerste munt munt toonde en de tweede munt kop.

Voorbeeld 4

Draai twee eerlijke munten om.Vind de kansen van de gebeurtenissen.

1. Laat F = de gebeurtenis waarbij je maximaal één staart krijgt (nul of één staart).
2. Laat G = de gebeurtenis dat je twee krijgt gezichten die hetzelfde zijn.
3. Laat H = de gebeurtenis waarbij bij de eerste omkering een kop wordt gevolgd door een kop of staart bij de tweede omkering.
4. Zijn F en G wederzijds exclusief ?
5. Laat J = de gebeurtenis van alle staarten krijgen. Zijn J en H wederzijds exclusief?

Deze video geeft nog twee voorbeelden van het vinden van de waarschijnlijkheid van gebeurtenissen die elkaar wederzijds uitsluiten.

Voorbeeld 5

Gooi een eerlijke zeszijdige dobbelsteen. De steekproefruimte is {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Laat gebeurtenis
A = een gezicht is vreemd. Dan A = {1, 3, 5}. Laat gebeurtenis B = een gezicht is even. Dan B = {2, 4, 6}.

Voorbeeld 6

Hint: als G en H onafhankelijk zijn, moet je EEN van de volgende tonen:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G EN H) = P (G) P ( H)

Aangezien G en H onafhankelijk zijn, verandert de wetenschap dat iemand een bètaklas volgt niet de kans dat hij of zij wiskundelessen volgt. Als de twee gebeurtenissen niet onafhankelijk waren geweest (dat wil zeggen, ze zijn afhankelijk), dan zou de kans dat iemand wiskunde volgt, veranderen als je weet dat iemand een bètaklas volgt.

Voorbeeld 7

Laat evenement C = Engelse les volgen. Laat gebeurtenis D = een spraakklas volgen.

Stel dat P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 en P (C EN D) = 0,225.

Motiveer uw antwoorden op de volgende vragen numeriek.

Voorbeeld 8

In een doos zijn er drie rode kaarten en vijf blauwe kaarten. De rode kaarten zijn gemarkeerd met de nummers 1, 2 en 3, en de blauwe kaarten zijn gemarkeerd met de nummers 1, 2, 3, 4 en 5. De kaarten zijn goed geschud. Je reikt in de doos (je kunt er niet in kijken) en trekt een kaart.

Laat R = rode kaart wordt getrokken, B = blauwe kaart wordt getrokken, E = even kaart wordt getrokken.

De monsterruimte S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S heeft acht resultaten.

Voorbeeld 9

In een bepaalde collegeklas, 60% van de udents zijn vrouwelijk. Vijftig procent van alle leerlingen in de klas heeft lang haar. Vijfenveertig procent van de studenten is vrouw en heeft lang haar. Van de vrouwelijke studenten heeft 75% lang haar. Laat F de gebeurtenis zijn dat een student een vrouw is. Laat ik de gebeurtenis zijn dat een student lang haar heeft. Een student wordt willekeurig gekozen. Zijn de gebeurtenissen van vrouwelijk zijn en lang haar hebben onafhankelijk?

• De volgende waarschijnlijkheden worden in dit voorbeeld gegeven:
• P (F) = 0.60; P (L) = 0,50
• P (F EN L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretatie van resultaten

De gebeurtenissen van vrouw zijn en lang haar hebben zijn niet onafhankelijk; wetende dat een leerling een vrouw is, verandert de kans dat een leerling lang haar heeft.

Voorbeeld 10

Gegevens uit Gallup. Online beschikbaar op www.gallup.com/ (geraadpleegd op 2 mei 2013).

Conceptoverzicht

Twee gebeurtenissen A en B zijn onafhankelijk als de wetenschap dat een heeft plaatsgevonden geen invloed heeft op de kans dat de andere zich voordoet. Als twee gebeurtenissen niet onafhankelijk zijn, zeggen we dat ze afhankelijk zijn.

Bij steekproeven met vervanging wordt elk lid van een populatie vervangen nadat het is gekozen, zodat dat lid de mogelijkheid heeft om meer dan eenmaal, en de gebeurtenissen worden als onafhankelijk beschouwd. Bij steekproeven zonder vervanging mag elk lid van een populatie slechts één keer worden gekozen, en de gebeurtenissen worden als niet onafhankelijk beschouwd. Wanneer gebeurtenissen geen uitkomsten delen, sluiten ze elkaar wederzijds uit.

Formulebeoordeling

Als A en B onafhankelijk zijn, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) en P (B | A) = P (B).

Als A en B elkaar uitsluiten, P (A OR B) = P (A) + P (B) en P (A EN B) = 0.