AlgebraEdit

GroupsEdit

Gegeven een groep G {\ displaystyle G} en een filtering G n {\ displaystyle G_ {n}}, is er een natuurlijke manier om een topologie te definiëren op G {\ displaystyle G}, waarvan wordt gezegd dat deze geassocieerd is met de filtratie. Een basis voor deze topologie is de verzameling van alle vertaalde subgroepen die in de filtratie voorkomen, dat wil zeggen, een subset van G {\ displaystyle G} wordt gedefinieerd als open als het een unie is van sets van de vorm a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, waarbij a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} en n {\ displaystyle n} een natuurlijk getal is.

De topologie die is gekoppeld aan een filtratie op een groep G {\ displaystyle G} maakt van G {\ displaystyle G} een topologische groep.

Ringen en modules: aflopende filtraties Bewerken

Gegeven een ring R {\ displaystyle R} en een R {\ displaystyle R} -module M {\ displaystyle M}, een dalende filtratie van M {\ displaystyle M} is een afnemende reeks submodules M n {\ displaystyle M_ {n}}. Dit is dus een speciaal geval van de notie voor groepen, met als aanvullende voorwaarde dat de subgroepen submodules zijn. De bijbehorende topologie is gedefinieerd als voor groepen.

Ringen en modules: oplopende filtratiesEdit

SetsEdit

Measure theoryEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ impliceert {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Het exacte bereik van de “tijden” t {\ displaystyle t} hangt meestal af van de context: de reeks waarden voor t {\ displaystyle t} kan discreet of continu zijn, begrensd of onbegrensd. Bijvoorbeeld

t ∈ {0, 1, …, N}, N 0, of {\ mbox {of}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Een σ-algebra definieert de reeks gebeurtenissen die kunnen worden gemeten, die in een waarschijnlijkheidscontext equivalent is aan gebeurtenissen die kunnen worden onderscheiden, of ‘vragen die op het tijdstip t {\ displaystyle t } “. Daarom wordt vaak een filtratie gebruikt om de verandering in de reeks gebeurtenissen weer te geven die kunnen worden gemeten, door het verkrijgen of verliezen van informatie. Een typisch voorbeeld is in wiskundige financiën, waar een filtering de beschikbare informatie weergeeft tot en met elke keer t {\ displaystyle t}, en steeds nauwkeuriger is (de reeks meetbare gebeurtenissen blijft gelijk of neemt toe) naarmate er meer informatie uit de evolutie van de aandelenkoers komt beschikbaar.

Relatie met stoptijden: stoptijd sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.