Gedeelde verjaardagen
Dit is een geweldige puzzel en je leert gaandeweg veel over waarschijnlijkheid …
Er zijn 30 mensen in een kamer … wat is de kans dat twee van hen hun verjaardag op dezelfde dag vieren? Ga uit van 365 dagen in een jaar.
Sommige mensen denken misschien :
“er zijn 30 mensen en 365 dagen, dus 30/365 klinkt ongeveer goed.
Wat is 30/365 = 0,08 …, dus ongeveer 8% misschien?”
Maar nee!
De kans is veel groter.
Het is waarschijnlijk dat er mensen zijn die een verjaardag in die kamer delen.
 |
Omdat je iedereen met iedereen moet vergelijken. En met 30 mensen is dat 435 vergelijkingen. Maar je moet ook oppassen dat je de kansen. |
Ik zal je laten zien hoe je het moet doen. .. te beginnen met een kleiner voorbeeld:
Vrienden en willekeurige nummers
4 vrienden (Alex, Billy, Chris en Dusty) kiezen elk een willekeurig getal tussen 1 en 5. Wat is de kans dat een van hen de sam heeft gekozen e nummer?
We zullen onze vrienden een voor een toevoegen …
Ten eerste, wat is de kans dat Alex en Billy hetzelfde nummer hebben?
Billy vergelijkt zijn nummer met dat van Alex. Er is een kans van 1 op 5 op een overeenkomst.
Als een boomdiagram:
Opmerking : “Ja” en “Nee” vormen samen 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Laten we nu Chris opnemen …
Maar er zijn nu twee gevallen die moeten worden overwogen (genaamd “Conditional Probability”):
- Als Alex en Billy overeenkomen, heeft Chris maar één getal om mee te vergelijken.
- Maar als Alex en Billy niet overeenkomen, dan heeft Chris twee getallen om mee te vergelijken.
En we krijgen dit:
Voor de bovenste regel (Alex en Billy kwamen overeen) hebben we al een match (een kans van 1/5).
Maar voor de “Alex en Billy kwam niet overeen “geval er 2 nummers zijn waarmee Chris kan matchen, dus er is een kans van 2/5 dat Chris overeenkomt (tegen zowel Alex als Billy). En een kans van 3/5 om niet te matchen.
En we kunnen de gecombineerde kans berekenen door de kansen te vermenigvuldigen die nodig waren om daar te komen:
Door het “Nee, Ja” -pad te volgen … is er een kans van 4/5 o f Nee, gevolgd door een 2/5 kans op Ja:
Volgen het “Nee, Nee” -pad … er is een kans van 4/5 op Nee, gevolgd door een kans van 3/5 op Nee:
Merk ook op dat het optellen van alle kansen 1 is (een goede check dat we geen fout hebben gemaakt):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Wat gebeurt er als we Dusty opnemen?
Het is hetzelfde idee, maar er meer van:
OK, dat zijn alle 4 de vrienden, en de “Ja” kansen samen maken 101/125:
Antwoord: 101/125
En dat is een populaire truc in waarschijnlijkheid:
Het is vaak gemakkelijker om het “Nee” -geval
uit te werken (en af te trekken van 1 voor het “Ja” geval)
En nu kunnen we proberen de “Gedeelde verjaardag” vraag te berekenen waarmee we begonnen zijn:
Dus de kans voor 30 mensen is ongeveer 70%.
En de kans voor 23 mensen is ongeveer 50%.
En de kans voor 57 mensen is 99% (almos t zeker!)
Simulatie
We kunnen dit ook simuleren met willekeurige getallen. Probeer het zelf hier, gebruik 30 en 365 en druk op Go. Er worden duizend willekeurige proeven uitgevoerd en de resultaten worden gegeven.
Je kunt ook de andere voorbeelden van hierboven proberen, zoals 4 en 5 om “Vrienden en willekeurige getallen” te simuleren.
For Real
Waarom zou je de volgende keer dat je met een groep mensen in een kamer bent niet nagaan of er gedeelde verjaardagen zijn?