MATH 1314: College Algebra
Terwijl verticale asymptoten het gedrag van een grafiek beschrijven als de output erg groot of heel klein wordt, helpen horizontale asymptoten het gedrag van een grafiek te beschrijven als de input wordt erg groot of erg klein. Bedenk dat het eindgedrag van een polynoom dat van de leidende term zal weerspiegelen. Evenzo zal het eindgedrag van een rationele functie dat van de verhouding tussen de leidende termen van de teller- en noemerfuncties weerspiegelen.
Er zijn drie verschillende uitkomsten bij het controleren op horizontale asymptoten:
Geval 1: Als de graad van de noemer > graad van de teller, is er een horizontale asymptoot op y = 0.
Geval 2: Als de graad van de noemer < graad van de teller één is, krijgen we een schuine asymptoot.
Merk op dat, hoewel de grafiek van een rationele functie nooit een verticale asymptoot zal kruisen, de grafiek wel of niet een horizontale of schuine ymptote. Ook, hoewel de grafiek van een rationale functie veel verticale asymptoten kan hebben, zal de grafiek maximaal één horizontale (of schuine) asymptoot hebben.
Opgemerkt moet worden dat, als de graad van de teller groter is dan de graad van de noemer met meer dan één, zal het eindgedrag van de grafiek het gedrag van de verminderde eindgedragsfractie nabootsen. Als we bijvoorbeeld de functie
met eindgedrag
het eindgedrag van de grafiek zou lijken op dat van een even polynoom met een positieve leidende coëfficiënt.
Een algemene opmerking: horizontale asymptoten van rationele functies
De horizontale asymptoot van een rationale functie kan bepaald door te kijken naar de graden van de teller en de noemer.
- De graad van de teller is kleiner dan de graad van de noemer: horizontale asymptoot op y = 0.
- De graad van de teller is groter dan graad van noemer met één: geen horizontale asymptoot; schuine asymptoot.
- Mate van teller is gelijk aan graad van noemer: horizontale asymptoot bij verhouding van leidende coëfficiënten.
Voorbeeld 9: Identificatie van horizontale en verticale asymptoten
Vind de horizontale en verticale asymptoten van de functie
Oplossing
Merk allereerst op dat deze functie geen gemeenschappelijke factoren heeft, dus er zijn geen mogelijke verwijderbare discontinuïteiten.
De functie zal verticale asymptoten hebben als de noemer nul is, waardoor de functie ongedefinieerd is. De noemer is nul bij x = 1, -2, tekst {en} 5 \, wat verticale asymptoten aangeeft bij deze waarden.
De teller heeft graad 2, terwijl de noemer graad 3 heeft. Sinds de graad van de noemer groter is dan de graad van de teller, zal de noemer sneller groeien dan de teller, waardoor de outputs naar nul neigen naarmate de inputs groot worden, en dus als xto pm infty, fleft (xright) naar 0 \. Deze functie heeft een horizontale asymptoot op y = 0 \.
Figuur 15
Een algemene opmerking: onderscheppingen van rationele functies
Een rationele functie heeft een y-snijpunt wanneer de invoer nul, als de functie op nul is gedefinieerd. Een rationele functie zal geen y-snijpunt hebben als de functie niet op nul is gedefinieerd.
Evenzo zal een rationale functie x-onderscheppingen hebben bij de ingangen die ervoor zorgen dat de uitvoer nul is. Omdat een breuk alleen gelijk is aan nul als de teller nul is, kunnen x-intercepts alleen voorkomen als de teller van de rationale functie gelijk is aan nul.
Probeer het 7
Gegeven de reciproque gekwadrateerde functie die 3 eenheden naar rechts en 4 eenheden omlaag is verschoven, schrijf dit dan als een rationele functie. Zoek vervolgens de x– en y-intercepts en de horizontale en verticale asymptoten.
Oplossing