Pythagoras MeansEdit

Rekenkundig gemiddelde (AM) Bewerken

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Het rekenkundig gemiddelde van vijf waarden: 4, 36, 45, 50, 75 is bijvoorbeeld:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometrisch gemiddelde (GM) bewerken

Het geometrisch gemiddelde is een gemiddelde dat nuttig is voor sets van positieve getallen, die worden geïnterpreteerd volgens hun product (zoals het geval is met groeisnelheden) en niet hun som (zoals het geval is met het rekenkundig gemiddelde):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Bijvoorbeeld de geometrische afmeting n van de vijf waarden: 4, 36, 45, 50, 75 is:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24300000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ maal 45 \ maal 50 \ maal 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmonische gemiddelde (HM) Bewerken

Het harmonische gemiddelde is een gemiddelde dat nuttig is voor reeksen getallen die zijn gedefinieerd in relatie tot een bepaalde eenheid, zoals in het geval van snelheid (dwz afstand per tijdseenheid):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Bijvoorbeeld, het harmonische gemiddelde van de vijf waarden: 4, 36, 45, 50, 75 is

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relatie tussen AM, GM en HMEdit

AM, GM en HM voldoen aan deze ongelijkheden:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Gelijkheid geldt als en slechts als alle elementen van de gegeven steekproef gelijk zijn.

Statistische locatie Bewerken

In beschrijvende statistieken kan het gemiddelde worden verward met de mediaan, modus of middenbereik, aangezien elk van deze een ‘gemiddelde’ kan worden genoemd (meer formeel een maat voor centrale neiging). Het gemiddelde van een reeks waarnemingen is het rekenkundig gemiddelde van de waarden; Voor scheve verdelingen is het gemiddelde echter niet noodzakelijk hetzelfde als de middelste waarde (mediaan) of de meest waarschijnlijke waarde (modus). Het gemiddelde inkomen wordt bijvoorbeeld doorgaans scheefgetrokken door een klein aantal mensen met zeer hoge inkomens, zodat de meerderheid een lager inkomen heeft dan het gemiddelde. Het mediane inkomen is daarentegen het niveau waarop de helft van de bevolking onder en de helft boven is. Het modusinkomen is het meest waarschijnlijke inkomen en is in het voordeel van het grotere aantal mensen met lagere inkomens. Hoewel de mediaan en modus vaak meer intuïtieve maatstaven zijn voor dergelijke scheve gegevens, kunnen veel scheve verdelingen in feite het beste worden beschreven door hun gemiddelde, inclusief de exponentiële en Poisson-verdelingen.

Gemiddelde van een kansverdelingEdit

Het gemiddelde van een kansverdeling is de rekenkundig gemiddelde waarde op lange termijn van een willekeurige variabele met die verdeling. Als de willekeurige variabele wordt aangeduid met X {\ displaystyle X}, staat deze ook bekend als de verwachte waarde van X {\ displaystyle X} (aangegeven met E (X) {\ displaystyle E (X)}). Voor een discrete kansverdeling wordt het gemiddelde gegeven door ∑ X P (x) {\ Displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, waarbij de som wordt genomen over alle mogelijke waarden van de willekeurige variabele en P (x) {\ displaystyle P (x)} is de kansmassafunctie. Voor een continue verdeling is het gemiddelde ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, waarbij f (x) { \ displaystyle f (x)} is de kansdichtheidsfunctie. In alle gevallen, inclusief die waarin de verdeling niet discreet of continu is, is het gemiddelde de Lebesgue-integraal van de willekeurige variabele met betrekking tot de kansmaat.Het gemiddelde hoeft niet te bestaan of eindig te zijn; voor sommige kansverdelingen is het gemiddelde oneindig (+ ∞ of −∞), terwijl voor andere het gemiddelde ongedefinieerd is.

Gegeneraliseerde gemiddelden Bewerken

KrachtgemiddeldeEdit

gegeneraliseerd gemiddelde, ook bekend als het machtsgemiddelde of Hölder-gemiddelde, is een abstractie van de kwadratische, rekenkundige, geometrische en harmonische gemiddelden. Het wordt gedefinieerd voor een reeks van n positieve getallen xi door

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Door te kiezen verschillende waarden voor de parameter m, worden de volgende soorten middelen verkregen:

f-meanEdit

Dit kan verder gegeneraliseerd worden als het gegeneraliseerde f-gemiddelde

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

en weer een geschikte keuze van een inverteerbare f geeft

Gewogen rekenkundig gemiddelde

Het gewogen rekenkundig gemiddelde (of gewogen gemiddelde) wordt gebruikt als men gemiddelde waarden uit steekproeven van verschillende grootte van dezelfde populatie wil combineren:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ balk {x}} = {\ frac {\ som _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ balk {x_ {i}}}}} {\ som _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Truncated meanEdit

Soms kan een reeks getallen uitschieters bevatten (dat wil zeggen datawaarden die veel lager of veel hoger zijn dan de anderen). Uitschieters zijn vaak foutieve gegevens die worden veroorzaakt door artefacten. In dit geval kan men een afgekapt gemiddelde gebruiken. Het omvat het weggooien van bepaalde delen van de gegevens aan de boven- of onderkant, meestal een gelijk aantal aan elk uiteinde, en vervolgens het rekenkundig gemiddelde van de resterende gegevens te nemen. Het aantal verwijderde waarden wordt aangegeven als een percentage van het totale aantal waarden.

InterkwartielgemiddeldeEdit

Het interkwartielgemiddelde is een specifiek voorbeeld van een afgekapt gemiddelde. Het is gewoon het rekenkundig gemiddelde na het verwijderen van het laagste en het hoogste kwart van de waarden.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ som _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

ervan uitgaande dat de waarden zijn geordend, is dit dus gewoon een specifiek voorbeeld van een gewogen gemiddelde voor een specifieke set gewichten.

Gemiddelde van een functie Bewerken

In sommige omstandigheden kunnen wiskundigen een gemiddelde berekenen van een oneindige (of zelfs een ontelbare) reeks waarden. Dit kan gebeuren bij het berekenen van de gemiddelde waarde y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} van een functie f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuïtief kan een gemiddelde van een functie worden gezien als het berekenen van het oppervlak onder een sectie van een curve en vervolgens te delen door de lengte van die sectie. Dit kan grof gebeuren door vierkantjes op ruitjespapier te tellen, of beter gezegd door integratie. De integratieformule is geschreven als:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limieten _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

In dit geval moet ervoor worden gezorgd dat de integraal convergeert. Maar het gemiddelde kan eindig zijn, zelfs als de functie zelf op sommige punten naar oneindig neigt.

Gemiddelde van hoeken en cyclische grootheden Bewerken

Hoeken, tijden van de dag en andere cyclische grootheden vereisen modulair rekenkunde om getallen toe te voegen en anderszins te combineren. In al deze situaties zal er geen uniek gemiddelde zijn. De tijden een uur voor en na middernacht zijn bijvoorbeeld op gelijke afstand van middernacht en middag. Het is ook mogelijk dat er geen gemiddelde bestaat. Beschouw eens een kleurenwiel – er is geen betekenis voor de verzameling van alle kleuren. In deze situaties moet u beslissen welk middel het nuttigst is. U kunt dit doen door de waarden aan te passen vóór het middelen, of door een gespecialiseerde benadering te gebruiken voor het gemiddelde van circulaire grootheden.

Fréchet meanEdit

Het gemiddelde van Fréchet geeft een manier om de ” centrum ‘van een massaverdeling op een oppervlak of, meer in het algemeen, Riemann-spruitstuk. In tegenstelling tot veel andere middelen wordt het gemiddelde van Fréchet gedefinieerd op een spatie waarvan de elementen niet noodzakelijkerwijs bij elkaar kunnen worden opgeteld of vermenigvuldigd met scalairen. Het wordt ook wel het gemiddelde van Karcher genoemd (genoemd naar Hermann Karcher).

Swanson ” s ruleEdit

Dit is een benadering van het gemiddelde voor een matig scheve verdeling. Het wordt gebruikt bij de exploratie van koolwaterstoffen en wordt gedefinieerd als

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

waarbij P10, P50 en P90 10e, 50e en 90e percentiel van de distributie.

Andere middelen