AlgebraEdit

GroupsEdit

Biorąc pod uwagę grupę G {\ Displaystyle G} i filtrację G n {\ Displaystyle G_ {n}}, istnieje naturalny sposób zdefiniowania topologii na G {\ Displaystyle G}, mówi się, że jest powiązany z filtrowanie. Podstawą tej topologii jest zbiór wszystkich tłumaczeń podgrup pojawiających się w filtracji, to znaczy podzbiór G {\ Displaystyle G} jest zdefiniowany jako otwarty, jeśli jest to suma zbiorów postaci a G n {\ Displaystyle aG_ {n}}, gdzie a ∈ G {\ Displaystyle a \ w G} i n {\ Displaystyle n} jest liczbą naturalną.

Topologia związana z filtracją na grupie G {\ displaystyle G} sprawia, że G {\ displaystyle G} w grupę topologiczną.

Pierścienie i moduły: malejące filtracjeEdytuj

Biorąc pod uwagę pierścień R {\ Displaystyle R} i R {\ displaystyle R} -moduł M {\ Displaystyle M}, malejąca filtracja M {\ Displaystyle M} to malejąca sekwencja podmodułów M n {\ Displaystyle M_ {n}}. Jest to zatem szczególny przypadek pojęcia grup, z dodatkowym warunkiem, że podgrupy będą podmodułami. Powiązana topologia jest definiowana jak dla grup.

Pierścienie i moduły: filtracje rosnąceEdit

SetsEdit

Teoria pomiaruEdytuj

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ zakłada {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Dokładny zakres „czasów” t {\ displaystyle t} zwykle zależy od kontekstu: zbiór wartości dla t {\ displaystyle t} może być dyskretny lub ciągły, ograniczony lub nieograniczony. Na przykład

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 lub {\ mbox {or}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ lewo (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ prawo) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

A σ-algebra definiuje zbiór zdarzeń, które można zmierzyć, co w kontekście prawdopodobieństwa jest równoważne zdarzeniom, które mogą być rozróżniane, lub „pytania, na które można odpowiedzieć w czasie t {\ displaystyle t } ”. Dlatego filtracja jest często używana do reprezentowania zmiany w zestawie zdarzeń, które można zmierzyć, poprzez uzyskanie lub utratę informacji. Typowym przykładem są finanse matematyczne, gdzie filtracja reprezentuje informacje dostępne do włącznie za każdym razem, gdy t {\ displaystyle t} i jest coraz bardziej precyzyjna (zbiór mierzalnych zdarzeń pozostaje taki sam lub rośnie) jako więcej informacji z ewolucji kursu akcji staje się dostępny.

Relacja z czasami zatrzymania: czas zatrzymania sigma-algebrasEdit

F τ : = {ZA ∈ F: ZA ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ Displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ lewo \ {A \ w {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.