Niezależne i wykluczające się wzajemnie nie oznaczają tego samego.

Niezależne zdarzenia

Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli są prawdziwe:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A AND B) = P (A) P (B)

Dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeżeli wiedza, że jedno wystąpiło, nie wpływa na prawdopodobieństwo wystąpienia drugiego. Na przykład wyniki dwóch ról uczciwej kości są niezależnymi zdarzeniami. Wynik pierwszego rzutu nie zmienia prawdopodobieństwa wyniku drugiego rzutu. Aby pokazać, że dwa zdarzenia są niezależne, musisz pokazać tylko jeden z powyższych warunków.

Jeśli dwa zdarzenia NIE są niezależne, to mówimy, że są zależne.

Próbkowanie może być wykonane z zastąpieniem lub bez zastąpienia.

• Z zastąpieniem: jeśli każdy członek populacji zostanie zastąpiony po jego wybraniu, wówczas ten członek ma możliwość wybrania go więcej niż jeden raz. Gdy próbkowanie odbywa się z wymianą, zdarzenia są uważane za niezależne, co oznacza, że wynik pierwszego pobrania nie zmieni prawdopodobieństwa dla drugiego pobrania.
• Bez zamiany: gdy próbkowanie jest wykonywane bez zamiany, każde członek populacji może zostać wybrany tylko raz. W tym przypadku na prawdopodobieństwo drugiego wyboru ma wpływ wynik pierwszego wyboru. Zdarzenia są uważane za zależne lub nie niezależne.

Jeśli nie wiadomo, czy A i B są niezależne czy zależne, załóżmy, że są zależne, dopóki nie możesz wykazać inaczej.

1. Próbkowanie z wymianą: załóżmy, że wybierasz trzy karty do wymiany. Pierwsza wybrana karta z 52 kart to
   Q pik. Odkładasz tę kartę, przetasowujesz karty i wybierasz drugą kartę z talii 52 kart. To dziesiątka trefl. Odkładasz tę kartę z powrotem, tasujesz karty i wybierasz trzecią kartę z talii 52 kart. Tym razem karta to znowu Q pik. Twoje typy to {Q of Spades, Ten of Clubs, Q of Spades}. Dwukrotnie wybrałeś Q pik. Wybierasz każdą kartę z talii 52 kart.
2. Próbkowanie bez wymiany: Załóżmy, że wybierasz trzy karty bez wymiany. Pierwsza karta, którą wybierzesz z 52 kart, to K kier. Odkładasz tę kartę na bok i wybierasz drugą z 51 kart pozostałych w talii. To jest trójka diamentów. Odkładasz tę kartę na bok i wybierasz trzecią kartę z pozostałych 50 kart w talii. Trzecia karta to J pik. Twoje typy to {K kier, trzy karo, J pik}. Ponieważ wybrałeś karty bez wymiany, nie możesz dwukrotnie wybrać tej samej karty.

Przykład 1

1. Załóżmy, że wiesz, że wybrane karty to Q lub pik, K kier i Q pik. Czy możesz zdecydować, czy próbkowanie było zastępowane czy nie?
   Pokaż odpowiedź

   Próbkowanie z wymianą

2. Przypuśćmy, że wiesz, że wybrane karty to Q pik, K kier i J pik. Czy możesz zdecydować, czy próbkowanie było zastępowane czy nie?
   Pokaż odpowiedź

   Nie, nie możemy stwierdzić, czy próbkowanie było z czy bez wymiana.

Przykład 2

1. Załóżmy, że wybierasz cztery karty, ale nie odkładasz żadnych kart z powrotem do talii. Twoje karty to QS, 1D, 1C, QD.
2. Załóżmy, że wybierasz cztery karty i odkładasz każdą z nich, zanim wybierzesz następną. Twoje karty to KH, 7D, 6D, KH.

Którą z 1 lub 2 próbkowałeś z wymianą, a która bez wymiany?

Ten film zawiera krótką lekcję na temat znajdowania prawdopodobieństwa wystąpienia niezależnych zdarzeń.

Wzajemnie wykluczające się zdarzenia

A i B są zdarzeniami wykluczającymi się wzajemnie, jeśli nie mogą wystąpić w w tym samym czasie. Oznacza to, że A i B nie mają wspólnych wyników, a P (A AND B) = 0

Na przykład załóżmy, że przestrzeń próbkowania S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Niech A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} i C = {7, 9}.

Jeśli nie wiadomo, czy A i B wykluczają się wzajemnie, załóżmy, że tak nie jest, dopóki nie możesz wykazać inaczej. Poniższe przykłady ilustrują te definicje i terminy.

Przykład 3

Odwróć dwie uczciwe monety. (To jest eksperyment.)

Przestrzeń próbkowania to {HH, HT, TH, TT}, gdzie T = reszki i H = orły. Możliwe wyniki to HH, HT, TH i TT. Wyniki HT i TH są różne. HT oznacza, że pierwsza moneta pokazywała orły, a druga moneta reszka. TH oznacza, że pierwsza moneta miała reszki, a druga moneta – orła.

Przykład 4

Odwróć dwie uczciwe monety.Znajdź prawdopodobieństwa zdarzeń.

1. Niech F = zdarzenie uzyskania co najwyżej jednego ogona (zero lub jeden ogon).
2. Niech G = zdarzenie uzyskania dwóch twarze, które są takie same.
3. Niech H = zdarzenie polegające na zdobyciu głowy podczas pierwszego rzutu, po którym następuje głowa lub ogon w drugim.
4. Czy F i G wzajemnie się wykluczają ?
5. Niech J = zdarzenie zdobycia wszystkich ogonów. Czy J i H wykluczają się wzajemnie?

W tym filmie wideo przedstawiono dwa kolejne przykłady znajdowania prawdopodobieństwa zdarzeń, które wzajemnie się wykluczają.

Przykład 5

Rzuć jedną uczciwą, sześciościenną kostką. Miejsce na próbkę to {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Niech wydarzenie
A = twarz jest dziwna. Wtedy A = {1, 3, 5}. Niech zdarzenie B = twarz jest parzysta. Wtedy B = {2, 4, 6}.

Przykład 6

Wskazówka: Jeśli G i H są niezależne, musisz pokazać JEDNO z poniższych:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G AND H) = P (G) P ( H)

Ponieważ G i H są niezależni, wiedza o tym, że dana osoba bierze udział w zajęciach z przedmiotów ścisłych, nie zmienia szansy, że uczęszcza na zajęcia z matematyki. Gdyby te dwa wydarzenia nie były niezależne (to znaczy są zależne), wiedza, że dana osoba bierze udział w zajęciach z przedmiotów ścisłych, zmieniłaby szanse, że osoba ta bierze matematykę.

Przykład 7

Niech wydarzenie C = lekcje angielskiego. Niech zdarzenie D = przystąpienie do wykładu.

Załóżmy, że P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 i P (C AND D) = 0,225.

Odpowiedzi na poniższe pytania uzasadnij liczbowo.

Przykład 8

W pudełku znajdują się trzy czerwone kartki i pięć niebieskich kart. Czerwone karty są oznaczone numerami 1, 2 i 3, a niebieskie karty – numerami 1, 2, 3, 4 i 5. Karty są dobrze przetasowane. Sięgasz do pudełka (nie możesz do niego zajrzeć) i dobierasz jedną kartę.

Niech R = narysowana czerwona karta, B = niebieska karta, E = karta parzysta.

Przestrzeń próbkowania S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S ma osiem wyników.

Przykład 9

W określonej klasie uczelni 60% Udents to kobiety. Pięćdziesiąt procent wszystkich uczniów w klasie ma długie włosy. Czterdzieści pięć procent uczniów to kobiety i mają długie włosy. 75% studentek ma długie włosy. Niech F będzie zdarzeniem, że student jest kobietą. Niech L będzie zdarzeniem, że uczeń ma długie włosy. Jeden uczeń jest wybierany losowo. Czy zdarzenia związane z byciem kobietą i posiadaniem długich włosów są niezależne?

• W tym przykładzie podano następujące prawdopodobieństwa:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F AND L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretacja wyników

Przypadki bycia kobietą i posiadania długich włosów nie są niezależne; świadomość, że studentka jest kobietą, zmienia prawdopodobieństwo, że uczeń ma długie włosy.

Przykład 10

Dane z firmy Gallup. Dostępne w Internecie pod adresem www.gallup.com/ (dostęp 2 maja 2013 r.).

Przegląd koncepcji

Dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeśli wiedza o ich wystąpieniu nie wpływa na szansa, że pojawi się druga. Jeśli dwa zdarzenia nie są niezależne, to mówimy, że są zależne.

W próbkowaniu z wymianą każdy członek populacji jest zastępowany po jego wybraniu, tak że członek ma możliwość wybrania więcej niż raz, a wydarzenia uważa się za niezależne. Przy pobieraniu próbek bez zastępowania każdy członek populacji może zostać wybrany tylko raz, a zdarzenia nie są uważane za niezależne. Gdy zdarzenia nie mają wspólnych wyników, wykluczają się wzajemnie.

Przegląd formuły

Jeśli A i B są niezależne, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) i P (B | A) = P (B).

Jeśli A i B wykluczają się wzajemnie, P (A LUB B) = P (A) + P (B) i P (A AND B) = 0