Pole elektryczne w pobliżu bardzo długiego, równomiernie naładowanego przewoduEdit

Jak widzieliśmy, pole elektryczne wokół ładunku punktowego jest sferycznie symetryczne i odwrotnie proporcjonalne do kwadrat odległości. Warto przyjrzeć się dwóm innym konfiguracjom geometrycznym.

Jeśli mamy „nieskończenie długi” zbiór liniowy równomiernie rozłożonego ładunku (to jest długi naładowany drut), możemy określić pobliskie pole elektryczne przez całkowanie. Niech ładunek na jednostkę długości wyniesie λ {\ displaystyle \ lambda} kulombów na metr.

W danym punkcie w odległości b {\ displaystyle b} od drutu, udział w polu z nieskończenie małego odcinka drutu o długości d ℓ {\ Displaystyle d \ ell} to:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ Displaystyle {\ Frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Składowa tego wektora skierowana prostopadle od przewodu to:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ re ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 re ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 re ℓ {\ Displaystyle {\ Frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ Displaystyle {\ Frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Pole jest skierowane prostopadle od przewodu i jest odwrotnie proporcjonalne do pierwszej potęgi odległości separacji.

Czy drut musi być nieskończenie długi? Nie; to tylko przybliżenie do nieskończonej granicy. Przybliżenie jest dobre, o ile jeden jest znacznie bliżej przewodu niż jego długość.

Pole elektryczne w pobliżu bardzo dużej, równomiernie naładowanej płaszczyznyEdytuj

Kolejna bardzo ważna konfiguracja geometryczna jest „nieskończenie dużą” płaską płaszczyzną z równomiernym rozkładem ładunku. Dzielimy płaszczyznę na wiele cienkich równoległych pasków o szerokości dl. Jeśli gęstość ładunku na jednostkę powierzchni płaszczyzny wynosi σ {\ Displaystyle \ sigma} kulombów na metr kwadratowy, każdy pasek ma liniową gęstość ładunku

λ = σ d ℓ {\ Displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

kulombów na metr.

Używamy wyniku poprzednia sekcja i zasadniczo ten sam diagram. Paski biegną teraz do strony / ekranu lub z niego wychodzą, a przekroje pasków są wyświetlane od lewej do prawej na diagramie. Pole w punkcie zainteresowania to:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R re ℓ {\ Displaystyle {\ Frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Składnik skierowany w górę (zgodnie z symetrią całe pole będzie skierowane prostopadle poza płaszczyzna) to:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ re ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ Displaystyle {\ Frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Całość składowej w górę pola uzyskuje się przez całkowanie:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ Displaystyle E = {\ Frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ Frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Pole jest skierowane prostopadle do płaszczyzny i jest niezależne od odległości separacji. Oznacza to, że jest niezależne tak długo, jak długo pozostaje się tak blisko płaszczyzny, że wydaje się być prawie nieskończone.

Zastosowanie: Pole elektryczne wewnątrz równoległego kondensatora płytowegoEdytuj

Prawa Newtona zakładają, że siła wypadkowa jest sumą wszystkich sił, ma = ΣFj (suma nad j). Ponieważ pole elektryczne E jest zdefiniowane poprzez Zgodnie z prawem Coulomba poprzez F = qE, najprostszym możliwym założeniem jest to, że pole elektryczne jest sumą poszczególnych pól elektrycznych przypadających na każdy ładunek. Ta zasada nazywana jest superpozycją (lub liniową superpozycją) i utrzymuje się przynajmniej do rozmiarów mniejszych niż jądro atomowe. W rzeczywistości założyliśmy implicite superpozycję przez całkowanie w celu uzyskania pola elektrycznego wynikającego z ładunków liniowych i powierzchniowych. Jak pokazano na rysunku, pola elektryczne dodają konstruktywnie przestrzeń między płytami.Dodają destrukcyjnie (tj. Odejmują) poza dwiema płytami i dodają do zera pole elektryczne. Dlatego pole elektryczne między płytami wynosi

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)