Średnie pitagorejskieEdit

Średnia arytmetyczna (AM) Edytuj

x ¯ = 1 n (∑ ja = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {1} {n}} \ lewo ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Na przykład średnia arytmetyczna pięciu wartości: 4, 36, 45, 50, 75 to:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ Displaystyle {\ Frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Średnia geometryczna (GM) Edycja

Średnia geometryczna to średnia przydatna dla zbiorów liczb dodatnich, które są interpretowane zgodnie z ich iloczynem (jak to ma miejsce w przypadku stóp wzrostu), a nie ich sumą (jak ma to miejsce w przypadku średniej arytmetycznej):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ Displaystyle {\ bar {x}} = \ lewo (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Na przykład mea geometryczny n pięciu wartości: 4, 36, 45, 50, 75 to:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ Displaystyle (4 \ razy 36 \ times 45 \ times 50 \ times 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Średnia harmoniczna (HM) Edytuj

Średnia harmoniczna to średnia przydatna dla zbiorów liczb, które są zdefiniowane w odniesieniu do jakiejś jednostki, jak w przypadku prędkości (tj. odległości na jednostkę czasu):

x ¯ = n (∑ ja = 1 n 1 xi) – 1 {\ Displaystyle {\ bar {x}} = n \ lewo (\ suma _ {i = 1} ^ {n} {\ Frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Na przykład średnia harmoniczna pięciu wartości: 4, 36, 45, 50, 75 wynosi

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ Displaystyle {\ Frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relacja między AM, GM i HMEdit

AM, GM i HM spełniają te nierówności:

AM ≥ GM ≥ HM {\ Displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy danej próby są równe.

Lokalizacja statystycznaEdytuj

W statystykach opisowych, średnia może być mylona z medianą, modą lub średnią, ponieważ każdy z nich można nazwać „średnią” (bardziej formalnie miara tendencji centralnej). Średnia zbioru obserwacji jest średnią arytmetyczną wartości; jednak w przypadku skośnych rozkładów średnia niekoniecznie jest taka sama, jak wartość środkowa (mediana) lub najbardziej prawdopodobna wartość (mod). Na przykład średni dochód jest zwykle wypaczany w górę przez niewielką liczbę osób o bardzo wysokich dochodach, tak że większość ma dochód niższy od średniej. Z kolei mediana dochodu to poziom, na którym połowa populacji jest poniżej, a połowa powyżej. Dochód ze środków transportu jest najbardziej prawdopodobnym dochodem i faworyzuje większą liczbę osób o niższych dochodach. Chociaż mediana i mod są często bardziej intuicyjnymi miarami dla takich wypaczonych danych, w rzeczywistości wiele skośnych rozkładów najlepiej opisuje ich średnia, w tym rozkład wykładniczy i Poissona.

Średnia z rozkładu prawdopodobieństwaEdytuj

Średnia z rozkładu prawdopodobieństwa to długookresowa średnia arytmetyczna wartości zmiennej losowej o takim rozkładzie. Jeśli zmienna losowa jest oznaczona przez X {\ Displaystyle X}, to jest również znana jako wartość oczekiwana X {\ Displaystyle X} (oznaczono E (X) {\ Displaystyle E (X)}). Dla dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa, średnia jest określona przez ∑ x P (x) {\ Displaystyle \ textstyle \ suma xP (x)}, gdzie suma jest przejmowana przez wszystkie możliwe wartości zmiennej losowej i P (x) {\ displaystyle P (x)} jest funkcją masy prawdopodobieństwa. W przypadku dystrybucji ciągłej średnia wynosi ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, gdzie f (x) { \ Displaystyle f (x)} jest funkcją gęstości prawdopodobieństwa. We wszystkich przypadkach, w tym w tych, w których rozkład nie jest ani dyskretny, ani ciągły, średnia jest całką Lebesgue’a zmiennej losowej w odniesieniu do jej miary prawdopodobieństwa.Średnia nie musi istnieć ani być skończona; dla niektórych rozkładów prawdopodobieństwa średnia jest nieskończona (+ ∞ lub −∞), podczas gdy dla innych średnia jest niezdefiniowana.

Uogólnione średnieEdytuj

Potęga średniaEdytuj

średnia uogólniona, znana również jako średnia potęgowa lub średnia Höldera, jest abstrakcją średnich kwadratowych, arytmetycznych, geometrycznych i harmonicznych. Jest zdefiniowany dla zbioru n liczb dodatnich xi przez

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ Displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ lewo ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Wybierając różne wartości parametru m, uzyskuje się następujące typy średnich:

f-meanEdit

Można to uogólnić dalej jako uogólnioną f-średnią

x ¯ = fa – 1 (1 n ∑ ja = 1 nf (xi)) {\ Displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ lewo ({{\ Frac {1} {n}} \ suma _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

i znowu odpowiedni wybór odwracalnej f da

Ważona średnia arytmetycznaEdytuj

Ważona średnia arytmetyczna (lub średnia ważona) jest używana, jeśli chce się połączyć średnie wartości z różnych wielkości próbek tej samej populacji:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Obcięta średniaEdytuj

Czasami zbiór liczb może zawierać wartości odstające (tj. Wartości danych, które są znacznie niższe lub znacznie wyższe niż inne). Często wartości odstające to błędne dane spowodowane przez artefakty. W tym przypadku można użyć średniej obciętej. Polega ona na odrzuceniu określonych części danych na górze lub na dole, zwykle równej ilości na każdym końcu, a następnie wzięciu średniej arytmetycznej z pozostałych danych. Liczba usuniętych wartości jest wskazywana jako procent całkowitej liczby wartości.

Średnia międzykwartylowaEdycja

Średnia międzykwartylowa jest szczególnym przykładem średniej obciętej. Jest to po prostu średnia arytmetyczna po usunięciu najniższej i najwyższej ćwiartki wartości.

x ¯ = 2 n ∑ ja = n 4 + 1 3 4 nxi {\ Displaystyle {\ bar {x}} = {\ Frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

zakładając, że wartości zostały uporządkowane, więc jest to po prostu konkretny przykład średniej ważonej dla określonego zestawu wag.

Średnia funkcjiEdytuj

W pewnych okolicznościach matematycy mogą obliczyć średnią z nieskończonego (lub nawet niepoliczalnego) zbioru wartości. Może się to zdarzyć podczas obliczania średniej wartości y ave {\ displaystyle y _ {\ tekst {ave}}} funkcji f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuicyjnie, średnią funkcji można traktować jako obliczenie pola powierzchni pod fragmentem krzywej, a następnie podzielenie jej przez długość tego odcinka. Można to zrobić z grubsza, licząc kwadraty na papierze milimetrowym, a dokładniej przez całkowanie. Formuła integracji jest zapisana jako:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

W tym przypadku należy upewnić się, że całka jest zbieżna. Ale średnia może być skończona, nawet jeśli sama funkcja ma tendencję do nieskończoności w niektórych punktach.

Średnia kątów i wielkości cyklicznychEdytuj

Kąty, pory dnia i inne wielkości cykliczne wymagają modularności arytmetyka dodawania i łączenia liczb w inny sposób. We wszystkich tych sytuacjach nie będzie jedynego środka. Na przykład godziny na godzinę przed i po północy są w równej odległości od północy i południa. Możliwe jest również, że nie istnieje żaden środek. Rozważmy koło kolorów – nie ma żadnego znaczenia dla zestawu wszystkich kolorów. W takich sytuacjach musisz zdecydować, który środek jest najbardziej przydatny. Możesz to zrobić, dostosowując wartości przed uśrednieniem lub stosując wyspecjalizowane podejście do średniej wielkości kołowych.

Fréchet meanEdit

Średnia Frécheta umożliwia określenie „ środek „rozkładu masy na powierzchni lub, bardziej ogólnie, rozmaitość riemannowska. W przeciwieństwie do wielu innych środków, średnia Frécheta jest definiowana na przestrzeni, której elementy nie muszą być sumowane ani mnożone przez skalary. Czasami jest również znany jako średnia Karchera (nazwana na cześć Hermanna Karchera).

Swanson s regułaEdytuj

Jest to przybliżenie średniej dla umiarkowanie skośnego rozkładu. Jest używane w eksploracji węglowodorów i jest definiowane jako

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ Displaystyle m = 0,3 p_ {10} + 0,4 p_ {50} + 0,3 p_ {90}}

gdzie P10, P50 i P90 10, 50 i 90 centyl rozkładu.

Inne środkiEdytuj