Wspólne urodziny
To świetna łamigłówka, a po drodze możesz dowiedzieć się wiele o prawdopodobieństwie …
W pokoju jest 30 osób … jaka jest szansa, że którekolwiek z nich obchodzą urodziny tego samego dnia? Przyjmijmy 365 dni w roku.
Niektórzy mogą pomyśleć :
„jest 30 osób i 365 dni, więc 30/365 brzmi właściwie.
30/365 = 0,08 …, więc może około 8%?”
Ale nie!
Prawdopodobieństwo jest znacznie wyższe.
Jest prawdopodobne, że w tym pokoju są ludzie, którzy obchodzą urodziny.
 |
Ponieważ powinieneś porównywać wszystkich ze wszystkimi. A przy 30 osobach to 435 porównań. Ale musisz też uważać, aby nie przeliczyć szanse. |
Pokażę ci, jak to zrobić. .. zaczynając od mniejszego przykładu:
Znajomi i losowe liczby
4 przyjaciół (Alex, Billy, Chris i Dusty) wybiera losową liczbę od 1 do 5. Jaka jest szansa, że któryś z nich wybrał sam e numer?
Będziemy dodawać naszych znajomych pojedynczo …
Po pierwsze, jaka jest szansa, że Alex i Billy mają ten sam numer?
Billy porównuje swoją liczbę z liczbą Alexa. Istnieje 1 na 5 szans na dopasowanie.
W formie diagramu drzewa:
Uwaga : „Tak” i „Nie” razem dają 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Teraz uwzględnijmy Chrisa …
Ale są teraz dwa przypadki do rozważenia (zwane „prawdopodobieństwem warunkowym”):
- Jeśli Alex i Billy pasują, to Chris ma tylko jedną liczbę do porównania.
- Ale jeśli Alex i Billy nie pasują, to Chris ma dwie liczby do porównania.
I otrzymujemy to:
W pierwszej linii (Alex i Billy pasowali) mamy już dopasowanie (szansa na 1/5).
Ale dla „Alexa i Billy nie dopasował „przypadku, że istnieją 2 liczby, z którymi Chris mógłby dopasować, więc istnieje 2/5 szans na dopasowanie Chrisa (zarówno przeciwko Alexowi, jak i Billy’emu). I 3/5 szansy na brak dopasowania.
I możemy obliczyć łączną szansę, mnożąc szanse, aby się tam dostać:
Podążając ścieżką „Nie, tak” … istnieje 4/5 szans f Nie, a następnie 2/5 szansy na Tak:
Obserwowanie ścieżka „Nie, nie” … istnieje 4/5 szansy na Nie, a następnie 3/5 szansy na Nie:
Zwróć również uwagę, że sumowanie wszystkich szans to 1 (dobrze sprawdź, czy nie popełniliśmy błędu):
(5/25) + ( 8/25) + (12/25) = 25/25 = 1
Co się teraz stanie, gdy dodamy Dusty’ego?
To ten sam pomysł, tylko więcej:
OK, to znaczy wszystkich 4 znajomych, a razem szansa na „Tak” daje 101/125:
Odpowiedź: 101/125
I to jest popularna sztuczka prawdopodobieństwa:
Często łatwiej jest obliczyć przypadek „Nie”
(i odjąć od 1 dla przypadku „Tak”)
A teraz możemy spróbować obliczyć pytanie „Wspólne urodziny”, od którego zaczęliśmy:
Zatem prawdopodobieństwo dla 30 osób wynosi około 70%.
A prawdopodobieństwo dla 23 osób wynosi około 50%.
A prawdopodobieństwo dla 57 osób wynosi 99% (prawie t pewne!)
Symulacja
Możemy to również zasymulować używając liczb losowych. Spróbuj sam tutaj, użyj 30 i 365 i naciśnij Go. Zostanie uruchomionych tysiąc losowych prób i podane wyniki.
Możesz także wypróbować inne przykłady z powyższego, takie jak 4 i 5, aby zasymulować „Przyjaciele i liczby losowe”.
Naprawdę
Następnym razem, gdy będziesz w pokoju z grupą osób, dlaczego nie dowiedzieć się, czy są jakieś wspólne urodziny?