Aniversários compartilhados
Este é um ótimo quebra-cabeça, e você aprenderá muito sobre probabilidade ao longo do caminho …
Há 30 pessoas em uma sala … qual é a chance de qualquer um deles comemorar seu aniversário no mesmo dia? Considere 365 dias em um ano.
Algumas pessoas podem pensar :
“há 30 pessoas e 365 dias, então 30/365 parece certo.
O que é 30/365 = 0,08 …, então cerca de 8%, talvez?”
Mas não!
A probabilidade é muito maior.
Na verdade, é provável que haja pessoas que compartilham o dia de aniversário naquela sala.
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Porque você deve comparar todos com todos os outros. E com 30 pessoas, são 435 comparações. Mas você também deve ter cuidado para não contar demais chances. |
Vou mostrar como fazer isso. .. começando com um exemplo menor:
Amigos e números aleatórios
4 amigos (Alex, Billy, Chris e Dusty) cada um escolhe um número aleatório entre 1 e 5. Qual é a chance de algum deles escolher o sam e número?
Vamos adicionar nossos amigos um de cada vez …
Primeiro, qual é a chance de Alex e Billy terem o mesmo número?
Billy compara seu número com o número de Alex. Há uma chance de 1 em 5 de coincidência.
Como um diagrama de árvore:
Nota : “Sim” e “Não” juntos formam 1
(1/5 + 4/5 = 5/5 = 1)
Agora, vamos incluir Chris …
Mas agora existem dois casos a serem considerados (chamados de “Probabilidade condicional”):
- Se Alex e Billy corresponderem, Chris terá apenas um número para comparar.
- Mas se Alex e Billy não corresponderem, Chris terá dois números para comparar.
E temos isto:
Para a linha superior (Alex e Billy combinaram), já temos uma combinação (uma chance de 1/5).
Mas para o “Alex e Billy não correspondeu “caso haja 2 números com os quais Chris poderia corresponder, então há uma chance de 2/5 de Chris corresponder (contra Alex e Billy). E uma chance de 3/5 de não corresponder.
E podemos calcular a chance combinada multiplicando as chances de chegar lá:
Seguindo o caminho “Não, Sim” … há uma chance de 4/5 o f Não, seguido por uma chance de 2/5 de Sim:
Seguindo o caminho “Não, Não” … há uma chance de 4/5 de Não, seguido por uma chance de 3/5 de Não:
Observe também que somar todas as chances é 1 (uma boa verificação de que não cometemos um erro):
(5/25) + ( 25/08) + (25/12) = 25/25 = 1
Agora, o que acontece quando incluímos Dusty?
É a mesma ideia, apenas mais dela:
OK, são os 4 amigos e as chances de “Sim” juntas são 101/125:
Resposta: 101/125
E esse é um truque popular de probabilidade:
Muitas vezes é mais fácil resolver o caso “Não”
(e subtrair de 1 para o caso “Sim”)
E agora podemos tentar calcular a pergunta “Aniversário compartilhado” com a qual começamos:
Portanto, a probabilidade para 30 pessoas é de cerca de 70%.
E a probabilidade para 23 pessoas é de cerca de 50%.
E a probabilidade para 57 pessoas é de 99% (quase com certeza!)
Simulação
Também podemos simular isso usando números aleatórios. Experimente você mesmo aqui, use 30 e 365 e pressione Ir. Mil tentativas aleatórias serão realizadas e os resultados fornecidos.
Você também pode tentar os outros exemplos acima, como 4 e 5 para simular “Amigos e números aleatórios”.
De verdade
Da próxima vez que você estiver em uma sala com um grupo de pessoas, por que não descobrir se há aniversários compartilhados?