AlgebraEdit

GroupsEdit

Dado um grupo G {\ displaystyle G} e uma filtragem G n {\ displaystyle G_ {n}}, existe uma maneira natural de definir uma topologia em G {\ displaystyle G}, que se diz estar associada ao filtração. Uma base para esta topologia é o conjunto de todas as traduções de subgrupos que aparecem na filtração, ou seja, um subconjunto de G {\ displaystyle G} é definido para ser aberto se for uma união de conjuntos da forma a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, onde a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} e n {\ displaystyle n} é um número natural.

A topologia associada a uma filtragem em um grupo G {\ displaystyle G} transforma G {\ displaystyle G} em um grupo topológico.

Anéis e módulos: filtrationsEdit decrescente

Dado um anel R {\ displaystyle R} e um R {\ displaystyle R} -módulo M {\ displaystyle M}, uma filtragem descendente de M {\ displaystyle M} é uma sequência decrescente de submódulos M n {\ displaystyle M_ {n}}. Este é, portanto, um caso especial da noção de grupos, com a condição adicional de que os subgrupos sejam submódulos. A topologia associada é definida como para grupos.

Anéis e módulos: filtrationsEdit ascendente

SetsEdit

Teoria de mediçãoEditar

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implica {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

O intervalo exato dos “tempos” t {\ displaystyle t} normalmente dependerá do contexto: o conjunto de valores para t {\ displaystyle t} pode ser discreto ou contínuo, limitado ou ilimitado. Por exemplo,

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0, ou {\ mbox {ou}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

Uma σ-álgebra define o conjunto de eventos que podem ser medidos, que em um contexto de probabilidade é equivalente a eventos que podem ser discriminados, ou “questões que podem ser respondidas no tempo t {\ displaystyle t } “. Portanto, uma filtragem é frequentemente usada para representar a mudança no conjunto de eventos que podem ser medidos, por meio de ganho ou perda de informação. Um exemplo típico é em finanças matemáticas, onde uma filtragem representa as informações disponíveis até e incluindo cada vez t {\ displaystyle t}, e é cada vez mais precisa (o conjunto de eventos mensuráveis permanece o mesmo ou aumenta) conforme mais informações da evolução do preço das ações torna-se disponível.

Relação com tempos de parada: tempo de parada sigma-álgebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ in {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.