Lei de Coulomb
O campo elétrico próximo a um WireEdit muito longo com carga uniforme
Como vimos, o campo elétrico em torno de uma carga pontual é esfericamente simétrico e inversamente proporcional a o quadrado da distância. Existem duas outras configurações geométricas que vale a pena observar.
Se tivermos uma coleção linear “infinitamente longa” de carga uniformemente distribuída (ou seja, um fio longo carregado), podemos determinar o campo elétrico próximo por integração. Deixe a carga por unidade de comprimento ser λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs por metro.
Integração ao longo de uma carga de linha para encontrar o campo elétrico
Em um determinado ponto na distância b {\ displaystyle b} do fio, a contribuição para o campo de uma seção infinitesimal de fio de comprimento d ℓ {\ displaystyle d \ ell} é:
dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}
O componente desse vetor apontando perpendicularmente para longe do fio é:
λ 4 π ϵ R 2 sin θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}
O campo aponta perpendicularmente para longe do fio e é inversamente proporcional à primeira potência da distância de separação.
Será que o o fio precisa ser infinitamente longo? Não; esta é apenas uma aproximação do limite infinito. A aproximação é boa, desde que se esteja muito mais próximo do fio do que do comprimento do fio.
O campo elétrico próximo a um Editor de plano muito grande com carga uniforme
Outra configuração geométrica muito importante é um plano plano “infinitamente grande” com distribuição de carga uniforme. Dividimos o plano em muitas tiras finas paralelas de largura dl. Se a densidade de carga por unidade de área do plano for σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs por metro quadrado, cada faixa tem uma densidade de carga linear de
λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}
coulombs por metro.
Usamos o resultado do seção anterior, e essencialmente o mesmo diagrama. As faixas agora estão entrando ou saindo da página / tela, e as seções transversais das faixas aparecem da esquerda para a direita no diagrama. O campo no ponto de interesse é:
λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}
O componente ascendente (por simetria o campo total apontará perpendicularmente para fora do plano) é:
σ 2 π ϵ R sen θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}
A componente ascendente total do campo é obtida integrando:
E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}
O campo aponta perpendicularmente para longe do plano e é independente da distância de separação. Ou seja, é independente enquanto a pessoa fica tão perto do plano que parece ser quase infinito.
Aplicação: O campo elétrico dentro de um capacitor de placa paralela Edit
Os campos elétricos causados pelas duas placas de um capacitor de placas paralelas adicionam na região entre as placas e subtraem na região fora das placas.
As leis de Newton pressupõem que a força resultante é a soma de todas as forças, ma = ΣFj (soma sobre j). Como o campo elétrico, E, é definido por Lei de Coulomb via F = qE, a suposição mais simples possível é que o campo elétrico é a soma dos campos elétricos individuais devido a cada carga. Este princípio é chamado de superposição (ou superposição linear) e se mantém pelo menos em tamanhos menores que o núcleo atômico. Na verdade, assumimos implicitamente a superposição ao integrar para obter o campo elétrico devido às cargas de linha e de superfície. Conforme mostrado na figura, os campos elétricos adicionam-se de forma construtiva no espaço entre as placas.Eles adicionam destrutivamente (ou seja, eles subtraem) fora das duas placas e somam o campo elétrico zero. Portanto, o campo elétrico entre as placas é
E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)