Pythagorean MeansEdit

Média aritmética (AM) Editar

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Por exemplo, a média aritmética de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Edição de média geométrica (GM)

A média geométrica é um média que é útil para conjuntos de números positivos, que são interpretados de acordo com seu produto (como é o caso das taxas de crescimento) e não sua soma (como é o caso da média aritmética):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

Por exemplo, o mea geométrico n de cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ vezes 36 \ vezes 45 \ vezes 50 \ vezes 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Edição de média harmônica (HM)

A média harmônica é uma média útil para conjuntos de números definidos em relação a alguma unidade, como no caso da velocidade (ou seja, distância por unidade de tempo):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

Por exemplo, a média harmônica dos cinco valores: 4, 36, 45, 50, 75 é

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relação entre AM, GM e HMEdit

AM, GM e HM satisfazem estas desigualdades:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

A igualdade é mantida se e somente se todos os elementos da amostra fornecida forem iguais.

Localização estatísticaEditar

Na estatística descritiva, a média pode ser confundida com a mediana, modo ou intervalo médio, pois qualquer um desses pode ser chamado de “média” (mais formalmente, um medida de tendência central). A média de um conjunto de observações é a média aritmética dos valores; entretanto, para distribuições distorcidas, a média não é necessariamente igual ao valor médio (mediana) ou ao valor mais provável (moda). Por exemplo, a renda média normalmente é distorcida para cima por um pequeno número de pessoas com rendas muito grandes, de modo que a maioria tem uma renda inferior à média. Em contraste, a renda mediana é o nível em que metade da população está abaixo e a outra acima. A modalidade renda é a renda mais provável e favorece o maior número de pessoas com rendimentos mais baixos. Embora a mediana e o modo sejam frequentemente medidas mais intuitivas para esses dados distorcidos, muitas distribuições distorcidas são, na verdade, melhor descritas por sua média, incluindo as distribuições exponencial e Poisson.

Média de uma distribuição de probabilidade Edit

A média de uma distribuição de probabilidade é o valor médio aritmético de longo prazo de uma variável aleatória com essa distribuição. Se a variável aleatória é denotada por X {\ displaystyle X}, então ela também é conhecida como o valor esperado de X {\ displaystyle X} (denotado por E (X) {\ displaystyle E (X)}). Para uma distribuição de probabilidade discreta, a média é dada por ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, onde a soma é feita sobre todos os valores possíveis da variável aleatória e P (x) {\ displaystyle P (x)} é a função de massa de probabilidade. Para uma distribuição contínua, a média é ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, onde f (x) { \ displaystyle f (x)} é a função de densidade de probabilidade. Em todos os casos, incluindo aqueles em que a distribuição não é discreta nem contínua, a média é a integral de Lebesgue da variável aleatória em relação à sua medida de probabilidade.A média não precisa existir ou ser finita; para algumas distribuições de probabilidade, a média é infinita (+ ∞ ou −∞), enquanto para outras a média é indefinida.

Edite de meios generalizados

Edite de média de potência

O média generalizada, também conhecida como média de potência ou média de Hölder, é uma abstração das médias quadráticas, aritméticas, geométricas e harmônicas. É definido para um conjunto de n números positivos xi por

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Ao escolher valores diferentes para o parâmetro m, os seguintes tipos de médias são obtidos:

f-meanEdit

Isso pode ser generalizado posteriormente como a média f generalizada

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

e novamente uma escolha adequada de um f invertível fornecerá

Média aritmética ponderada Editar

A média aritmética ponderada (ou média ponderada) é usada se alguém deseja combinar valores médios de amostras de tamanhos diferentes da mesma população:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Truncated meanEdit

Às vezes, um conjunto de números pode conter outliers (ou seja, valores de dados que são muito mais baixos ou muito mais altos do que o outros). Freqüentemente, outliers são dados errôneos causados por artefatos. Nesse caso, pode-se usar uma média truncada. Envolve descartar determinadas partes dos dados na extremidade superior ou inferior, normalmente uma quantidade igual em cada extremidade e, em seguida, obter a média aritmética dos dados restantes. O número de valores removidos é indicado como uma porcentagem do número total de valores.

Média interquartil

A média interquartil é um exemplo específico de uma média truncada. É simplesmente a média aritmética depois de remover o menor e o maior quarto dos valores.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

assumindo que os valores foram ordenados, é simplesmente um exemplo específico de uma média ponderada para um conjunto específico de pesos.

Média de uma funçãoEditar

Em algumas circunstâncias, os matemáticos podem calcular a média de um conjunto infinito (ou mesmo incontável) de valores. Isso pode acontecer ao calcular o valor médio y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} de uma função f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivamente, a média de uma função pode ser considerada como o cálculo da área sob uma seção de uma curva e, em seguida, a divisão pelo comprimento dessa seção. Isso pode ser feito de forma grosseira contando quadrados em papel milimetrado ou, mais precisamente, por integração. A fórmula de integração é escrita como:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

Neste caso, deve-se tomar cuidado para ter certeza de que a integral converge. Mas a média pode ser finita, mesmo que a própria função tenda ao infinito em alguns pontos.

Média dos ângulos e quantidades cíclicas Editar

Ângulos, horários do dia e outras quantidades cíclicas exigem módulos aritmética para somar e, de outra forma, combinar números. Em todas essas situações, não haverá um meio único. Por exemplo, as horas uma hora antes e depois da meia-noite são equidistantes da meia-noite e do meio-dia. Também é possível que não exista meio. Considere uma roda de cores – não há significado para o conjunto de todas as cores. Nessas situações, você deve decidir qual meio é mais útil. Você pode fazer isso ajustando os valores antes de calcular a média ou usando uma abordagem especializada para a média de quantidades circulares.

Fréchet meanEdit

A média de Fréchet fornece uma maneira de determinar o ” centro “de uma distribuição de massa em uma superfície ou, mais geralmente, variedade Riemanniana. Ao contrário de muitos outros meios, a média de Fréchet é definida em um espaço cujos elementos não podem necessariamente ser somados ou multiplicados por escalares. Às vezes também é conhecido como a média de Karcher (em homenagem a Hermann Karcher).

Swanson ” s ruleEdit

Esta é uma aproximação à média para uma distribuição moderadamente assimétrica. É usada na exploração de hidrocarbonetos e é definida como

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

onde P10, P50 e P90 10º, 50º e 90º percentis da distribuição.

Outros meiosEditar