Independente e mutuamente exclusivos não significam a mesma coisa.

Eventos Independentes

Dois eventos são independentes se o seguinte são verdadeiras:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A AND B) = P (A) P (B)

Dois eventos A e B são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta a chance do outro ocorrer. Por exemplo, os resultados de duas funções de um dado justo são eventos independentes. O resultado do primeiro lançamento não muda a probabilidade do resultado do segundo lançamento. Para mostrar que dois eventos são independentes, você deve mostrar apenas uma das condições acima.

Se dois eventos NÃO são independentes, dizemos que eles são dependentes.

A amostragem pode ser feita com substituição ou sem substituição.

• Com substituição: Se cada membro de uma população for substituído após ser escolhido, então esse membro tem a possibilidade de ser escolhido mais de uma vez. Quando a amostragem é feita com substituição, os eventos são considerados independentes, o que significa que o resultado da primeira escolha não mudará as probabilidades da segunda escolha.
• Sem substituição: Quando a amostragem é feita sem substituição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez. Nesse caso, as probabilidades da segunda escolha são afetadas pelo resultado da primeira escolha. Os eventos são considerados dependentes ou não independentes.

Se não for conhecido se A e B são independentes ou dependentes, suponha que sejam dependentes até que você possa mostrar o contrário.

1. Amostragem com substituição: suponha que você escolha três cartas com substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é a Q de espadas. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma segunda carta do baralho de 52 cartas. É o dez dos clubes. Você coloca esta carta de volta, embaralha as cartas e pega uma terceira carta do baralho de 52 cartas. Desta vez, a carta é o Q de espadas novamente. Suas escolhas são {Q de espadas, dez de paus, Q de espadas}. Você escolheu o Q de espadas duas vezes. Você escolhe cada carta do baralho de 52 cartas.
2. Amostragem sem substituição: suponha que você escolha três cartas sem substituição. A primeira carta que você escolhe das 52 cartas é o
   K de copas. Você coloca esta carta de lado e pega a segunda carta das 51 cartas restantes no baralho. É o três de diamantes. Você coloca esta carta de lado e pega a terceira carta das 50 cartas restantes no baralho. A terceira carta é o J de espadas. Suas escolhas são {K de copas, três de ouros, J de espadas}. Como você escolheu as cartas sem substituí-las, não pode escolher a mesma carta duas vezes.

Exemplo 1

1. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas têm Q de espadas, K de copas e Q de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem substituição?
   Mostrar resposta

   Amostragem com substituição

2. Suponha que você saiba que as cartas escolhidas são Q de espadas, K de copas e J de espadas. Você pode decidir se a amostragem foi com ou sem substituição?
   Mostrar resposta

   Não, não podemos dizer se a amostragem foi com ou sem substituição.

Exemplo 2

1. Suponha que você escolha quatro cartas, mas não coloque nenhuma carta de volta no baralho. Suas cartas são QS, 1D, 1C, QD.
2. Suponha que você escolha quatro cartas e coloque cada uma de volta antes de escolher a próxima. Seus cartões são KH, 7D, 6D, KH.

Qual de 1 ou 2 você testou com substituição e quais você testou sem substituição?

Este vídeo fornece uma breve lição sobre como encontrar a probabilidade de eventos independentes.

Eventos mutuamente exclusivos

A e B são eventos mutuamente exclusivos se não puderem ocorrer no mesmo tempo. Isso significa que A e B não compartilham nenhum resultado e P (A AND B) = 0.

Por exemplo, suponha que o espaço amostral S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} e C = {7, 9}.

Se não for conhecido se A e B são mutuamente exclusivos, assuma que não são até que você possa mostrar o contrário. Os exemplos a seguir ilustram essas definições e termos.

Exemplo 3

Jogue duas moedas justas. (Este é um experimento.)

O espaço de amostra é {HH, HT, TH, TT} onde T = coroa e H = cara. Os resultados possíveis são HH, HT, TH e TT. Os resultados HT e TH são diferentes. O HT significa que a primeira moeda mostrou cara e a segunda moeda mostrou coroa. O TH significa que a primeira moeda mostrou coroa e a segunda moeda mostrou cara.

Exemplo 4

Jogue duas moedas justas.Encontre as probabilidades dos eventos.

1. Seja F = o evento de obter no máximo uma cauda (zero ou uma cauda).
2. Seja G = o evento de obter dois faces que são iguais.
3. Seja H = o evento de obter uma cabeça no primeiro lance seguido por uma cabeça ou cauda no segundo lance.
4. São F e G mutuamente exclusivos ?
5. Seja J = o evento de obter todas as caudas. J e H são mutuamente exclusivos?

Este vídeo fornece mais dois exemplos de como encontrar a probabilidade de eventos que são mutuamente exclusivos.

Exemplo 5

Jogue um dado justo de seis lados. O espaço da amostra é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja o evento
A = um rosto estranho. Então A = {1, 3, 5}. Seja o evento B = um rosto par. Então B = {2, 4, 6}.

Exemplo 6

Dica: Se G e H são independentes, então você deve mostrar UM dos seguintes:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G e H) = P (G) P ( H)

Como G e H são independentes, saber que uma pessoa está fazendo aulas de ciências não altera a chance de ela estar fazendo aulas de matemática. Se os dois eventos não fossem independentes (ou seja, eles são dependentes), saber que uma pessoa está fazendo uma aula de ciências mudaria a chance de ela estar fazendo matemática.

Exemplo 7

Deixe o evento C = fazer uma aula de inglês. Deixe o evento D = fazer uma aula de fala.

Suponha que P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 e P (C AND D) = 0,225.

Justifique numericamente suas respostas às perguntas a seguir.

Exemplo 8

Em uma caixa, há três cartões vermelhos e cinco azuis. As cartas vermelhas são marcadas com os números 1, 2 e 3, e as cartas azuis são marcadas com os números 1, 2, 3, 4 e 5. As cartas são bem embaralhadas. Você alcança a caixa (você não pode ver dentro dela) e tira uma carta.

Deixe R = cartão vermelho é puxado, B = cartão azul é puxado, E = cartão de número par é puxado.

O espaço da amostra S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S tem oito resultados.

Exemplo 9

Em uma determinada classe da faculdade, 60% do st udents são femininos. Cinqüenta por cento de todos os alunos da classe têm cabelos longos. Quarenta e cinco por cento dos alunos são mulheres e têm cabelos longos. Das alunas, 75% têm cabelos compridos. Seja F o evento em que um aluno é do sexo feminino. Seja L o evento em que um aluno tem cabelo comprido. Um aluno é escolhido aleatoriamente. Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido são independentes?

• As seguintes probabilidades são fornecidas neste exemplo:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F AND L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretação dos resultados

Os eventos de ser mulher e ter cabelo comprido não são independentes; saber que um aluno é do sexo feminino muda a probabilidade de um aluno ter cabelo comprido.

Exemplo 10

Dados da Gallup. Disponível online em www.gallup.com/ (acessado em 2 de maio de 2013).

Revisão de conceito

Dois eventos A e B são independentes se o conhecimento de que um ocorreu não afeta o acaso o outro ocorre. Se dois eventos não são independentes, dizemos que eles são dependentes.

Na amostragem com substituição, cada membro de uma população é substituído após ser escolhido, de modo que esse membro tenha a possibilidade de ser escolhido em mais de uma vez, e os eventos são considerados independentes. Na amostragem sem reposição, cada membro de uma população pode ser escolhido apenas uma vez, e os eventos são considerados não independentes. Quando os eventos não compartilham resultados, eles são mutuamente exclusivos entre si.

Revisão da fórmula

Se A e B são independentes, P (A AND B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) e P (B | A) = P (B).

Se A e B são mutuamente exclusivos, P (A OR B) = P (A) + P (B) e P (A AND B) = 0.