AlgebraEdit

GroupsEdit

Având în vedere un grup G {\ displaystyle G} și o filtrare G n {\ displaystyle G_ {n}}, există un mod natural de a defini o topologie pe G {\ displaystyle G}, despre care se spune că este asociată cu filtrare. O bază pentru această topologie este setul tuturor traducerilor de subgrupuri care apar în filtrare, adică un subset de G {\ displaystyle G} este definit să fie deschis dacă este o uniune de seturi de forma a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, unde a ∈ G {\ displaystyle a \ in G} și n {\ displaystyle n} este un număr natural.

Topologia asociată unei filtrări pe un grup G {\ displaystyle G} face G {\ displaystyle G} într-un grup topologic.

Inele și module: filtrări descendenteEdit

Având un inel R {\ displaystyle R} și un R {\ displaystyle R} -modul M {\ displaystyle M}, o filtrare descendentă a lui M {\ displaystyle M} este o secvență descrescătoare a submodulelor M n {\ displaystyle M_ {n}}. Prin urmare, acesta este un caz special al noțiunii pentru grupuri, cu condiția suplimentară ca subgrupurile să fie submodule. Topologia asociată este definită ca pentru grupuri.

Inele și module: filtrări ascendenteEdit

SetsEdit

MăsuraEdit

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ implică {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Intervalul exact al „timpilor” t {\ displaystyle t} va depinde de obicei de context: setul de valori pentru t {\ displaystyle t} ar putea fi discret sau continuu, delimitat sau nelimitat. De exemplu,

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 sau {\ mbox {sau}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

O σ-algebră definește setul de evenimente care pot fi măsurate, care într-un context de probabilitate este echivalent cu evenimente care pot fi discriminate sau „întrebări la care se poate răspunde în timp t {\ displaystyle t } „. Prin urmare, o filtrare este adesea utilizată pentru a reprezenta schimbarea setului de evenimente care pot fi măsurate, prin câștig sau pierdere de informații. Un exemplu tipic este în finanța matematică, în care o filtrare reprezintă informațiile disponibile până la și inclusiv de fiecare dată t {\ displaystyle t} și este din ce în ce mai precisă (setul de evenimente măsurabile rămâne la fel sau crește) ca mai multe informații de la evoluția prețului acțiunilor devine disponibil.

Relația cu timpii de oprire: timp de oprire sigma-algebrasEdit

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ în {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ forall t \ geq 0 \ right \}}.