Câmpul electric lângă un fir foarte lung încărcat uniform

După cum am văzut, câmpul electric din jurul unei sarcini punctiforme este sferic simetric și invers proporțional cu pătratul distanței. Există alte două configurații geometrice care merită privite.

Dacă avem o colecție liniară „infinit de lungă” de încărcare uniform distribuită (adică un fir încărcat lung), putem determina câmpul electric din apropiere prin integrare. Sarcina pe unitate de lungime să fie λ {\ displaystyle \ lambda} coulombi pe metru.

La un punct dat la distanță b {\ displaystyle b} de fir, contribuția la câmp dintr-o secțiune infinitesimală a firului de lungime d ℓ {\ displaystyle d \ ell} este:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Componenta acelui vector îndreptată perpendicular departe de fir este:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ left. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Câmpul indică perpendicular distanță de fir și este invers proporțional cu prima putere a distanței de separare.

firul trebuie să fie infinit de lung? Nu; aceasta este doar o aproximare la limita infinită. Aproximarea este bună atâta timp cât unul este mult mai aproape de sârmă decât lungimea sârmei.

Câmpul electric lângă un avion foarte mare cu încărcare uniformă

O altă configurație geometrică foarte importantă este un plan plat „infinit de mare” cu distribuție uniformă a sarcinii. Împărțim planul în multe benzi paralele subțiri de lățime dl. Dacă densitatea de încărcare pe unitatea de suprafață a planului este σ {\ displaystyle \ sigma} coulombi pe metru pătrat, banda are o densitate de încărcare liniară de

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs pe metru.

Folosim rezultatul secțiunea precedentă și, în esență, aceeași diagramă. Fâșiile rulează acum în sau în afara paginii / ecranului, iar secțiunile transversale ale fâșiilor apar de la stânga la dreapta pe diagramă. Câmpul din punctul de interes este:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Componenta ascendentă (prin simetrie câmpul total va indica perpendicular din plan) este:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Componenta totală ascendentă a câmpului se obține prin integrarea:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ left. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Câmpul indică perpendicular distanță de plan și este independent de distanța de separare. Adică, este independent atât timp cât unul rămâne atât de aproape de plan încât pare a fi aproape infinit.

Aplicație: câmpul electric în interiorul unui condensator cu placă paralelă Editați

Legile lui Newton presupun că forța netă este suma tuturor forțelor, ma = ΣFj (suma peste j). Deoarece câmpul electric, E, este definit prin Legea lui Coulomb prin F = qE, cea mai simplă presupunere posibilă este că câmpul electric este suma câmpurilor electrice individuale datorate fiecărei sarcini. Acest principiu se numește suprapunere (sau suprapunere liniară) și ține cel puțin până la dimensiunile mai mici decât nucleul atomic. De fapt, am presupus implicit suprapunerea prin integrare pentru a obține câmpul electric datorat încărcărilor de linie și suprafață. După cum se arată în figură, câmpurile electrice se adaugă în mod constructiv în spațiul dintre plăci.Se adaugă distructiv (adică scad) în afara celor două plăci și se adaugă la câmp electric zero. Prin urmare, câmpul electric dintre plăci este

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)