MATH 1314: College Algebra (Română)
În timp ce asimptotele verticale descriu comportamentul unui grafic pe măsură ce ieșirea devine foarte mare sau foarte mică, asimptotele orizontale ajută la descrierea comportamentului unui grafic ca intrarea devine foarte mare sau foarte mică. Amintiți-vă că comportamentul final al unui polinom îl va reflecta pe cel al termenului principal. În mod similar, comportamentul final al unei funcții raționale va reflecta raportul dintre termenii principali ai funcțiilor numărătorului și numitorului.
Există trei rezultate distincte atunci când se verifică asimptotele orizontale:
Caz 1: Dacă gradul numitorului > gradul numărătorului, există o asimptotă orizontală la y = 0.
Cazul 2: Dacă gradul numitorului < gradul numărătorului cu unul, obținem o asimptotă înclinată.
Observați că, deși graficul unei funcții raționale nu va traversa niciodată o asimptotă verticală, graficul poate sau nu să traverseze o orizontală sau înclinată ca ymptote. De asemenea, deși graficul unei funcții raționale poate avea multe asimptote verticale, graficul va avea cel mult o asimptotă orizontală (sau înclinată).
Trebuie remarcat faptul că, dacă gradul numărătorului este mai mare decât gradul numitorului cu mai mult de unul, comportamentul final al graficului va imita comportamentul fracției de comportament final redus. De exemplu, dacă am avea funcția
cu comportament final
comportamentul final al graficului ar arăta similar cu cel al unui polinom uniform cu un coeficient pozitiv de conducere.
O Notă generală: Asimptotele orizontale ale funcțiilor raționale
Asimptota orizontală a unei funcții raționale poate fi determinat examinând gradele numărătorului și numitorului.
- Gradul numărătorului este mai mic decât gradul numitorului: asimptotă orizontală la y = 0.
- Gradul numărătorului este mai mare decât gradul de numitor cu unul: nici o asimptotă orizontală; asimptotă înclinată.
- Gradul numărătorului este egal cu gradul numitorului: asimptotă orizontală în raport cu coeficienții de frunte.
Exemplul 9: Identificarea asimptotelor orizontale și verticale
Găsiți asimptotele orizontale și verticale ale funcției
Soluție
În primul rând, rețineți că această funcție nu are factori comuni, deci nu există discontinuități potențiale amovibile.
Funcția va avea asimptote verticale atunci când numitorul este zero, determinând funcția nedefinită. Numitorul va fi zero la x = 1, -2, text {și} 5 \, indicând asimptotele verticale la aceste valori.
Numărătorul are gradul 2, în timp ce numitorul are gradul 3. De la grad numitorului este mai mare decât gradul numărătorului, numitorul va crește mai repede decât numeratorul, determinând ieșirile să tindă spre zero pe măsură ce intrările devin mari, și așa cum xto pm infty, fleft (xright) la 0 \. Această funcție va avea o asimptotă orizontală la y = 0 \.
Figura 15
O Notă generală: interceptări ale funcțiilor raționale
O funcție rațională va avea o interceptare y când intrarea este zero, dacă funcția este definită la zero. O funcție rațională nu va avea o interceptare y dacă funcția nu este definită la zero.
La fel, o funcție rațională va avea interceptări x la intrări care determină ieșirea să fie zero. Deoarece o fracțiune este egală cu zero doar când numeratorul este zero, interceptările x pot apărea numai atunci când numeratorul funcției raționale este egal cu zero.
Încercați 7
Având în vedere funcția pătrată reciprocă care este deplasată la dreapta cu 3 unități și în jos cu 4 unități, scrieți-o ca o funcție rațională. Apoi, găsiți interceptările x– și y și asimptotele orizontale și verticale.
Soluție