Pythagorean MeansEdit

Aritmetic Mean (AM) Edit

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ left ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

De exemplu, media aritmetică a cinci valori: 4, 36, 45, 50, 75 este:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Editare medie geometrică (GM)

Media geometrică este o medie care este utilă pentru seturi de numere pozitive, care sunt interpretate în funcție de produsul lor (cum este cazul cu ratele de creștere) și nu suma lor (cum este cazul cu media aritmetică):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ right) ^ {\ frac {1} {n}} = \ left (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ right) ^ {\ frac {1} {n}}}

De exemplu, mea geometrică n din cinci valori: 4, 36, 45, 50, 75 este:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ times 36 \ ori 45 \ ori 50 \ ori 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Editare medie armonică (HM)

Media armonică este o medie care este utilă pentru seturi de numere care sunt definite în raport cu o anumită unitate, ca în cazul vitezei (adică distanța pe unitate de timp):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ right) ^ {- 1}}

De exemplu, media armonică a celor cinci valori: 4, 36, 45, 50, 75 este

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Relația dintre AM, GM și HMEdit

AM, GM și HM satisfac aceste inegalități:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Egalitatea este valabilă dacă și numai dacă toate elementele eșantionului dat sunt egale.

Locație statisticăModificare

În statisticile descriptive, media poate fi confundată cu mediana, modul sau gama medie, deoarece oricare dintre acestea poate fi numită „medie” (mai formal, o măsura tendinței centrale). Media unui set de observații este media aritmetică a valorilor; totuși, pentru distribuțiile înclinate, media nu este neapărat aceeași cu valoarea medie (mediană) sau cea mai probabilă valoare (mod). De exemplu, venitul mediu este de obicei distorsionat în sus de un număr mic de persoane cu venituri foarte mari, astfel încât majoritatea au un venit mai mic decât media. În schimb, venitul mediu este nivelul la care jumătate din populație este sub și jumătate este peste. Venitul mod este cel mai probabil venit și favorizează numărul mai mare de persoane cu venituri mai mici. În timp ce mediana și modul sunt adesea măsuri mai intuitive pentru astfel de date înclinate, multe distribuții înclinate sunt de fapt cele mai bine descrise prin media lor, inclusiv distribuțiile exponențiale și Poisson.

Media unei distribuții de probabilitate

Articolul principal: Valoarea așteptată

Media unei distribuții de probabilitate este media medie aritmetică pe termen lung a unei variabile aleatorii care are această distribuție. Dacă variabila aleatoare este notată cu X {\ displaystyle X}, atunci este cunoscută și ca valoarea așteptată a lui X {\ displaystyle X} (notată E (X) {\ displaystyle E (X)}). Pentru o distribuție discretă de probabilitate, media este dată de ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, unde suma este preluată peste toate valorile posibile ale variabilei aleatorii și P (x) {\ displaystyle P (x)} este funcția de probabilitate a masei. Pentru o distribuție continuă, media este ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, unde f (x) { \ displaystyle f (x)} este funcția de densitate a probabilității. În toate cazurile, inclusiv în cele în care distribuția nu este nici discretă, nici continuă, media este integralul Lebesgue al variabilei aleatorii în raport cu măsura probabilității sale.Media nu trebuie să existe sau să fie finită; pentru unele distribuții de probabilitate media este infinită (+ ∞ sau −∞), în timp ce pentru altele media este nedefinită.

Generalized meansEdit

Power meanEdit

media generalizată, cunoscută și sub numele de putere medie sau medie Hölder, este o abstractizare a mijloacelor pătratice, aritmetice, geometrice și armonice. Este definit pentru un set de n numere pozitive xi prin

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Prin alegerea valori diferite pentru parametrul m, se obțin următoarele tipuri de mijloace:

f-meanEdit

Acest lucru poate fi generalizat în continuare ca f-medie generalizată

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

și din nou o alegere adecvată a unui f inversabil va da

Media aritmetică ponderatăEdit

Media aritmetică ponderată (sau media ponderată) este utilizată dacă se dorește combinarea valorilor medii din eșantioane de dimensiuni diferite ale aceleiași populații:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

MeanEdit trunchiat

Uneori, un set de numere poate conține valori anormale (de exemplu, valori ale datelor care sunt mult mai mici sau mult mai mari decât alții). Adesea, valorile aberante sunt date eronate cauzate de artefacte. În acest caz, se poate utiliza o medie trunchiată. Aceasta implică eliminarea anumitor părți ale datelor la capătul superior sau inferior, de obicei o cantitate egală la fiecare capăt și apoi luarea mediei aritmetice a datelor rămase. Numărul de valori eliminate este indicat ca procent din numărul total de valori.

Interquartile meanEdit

Media interquartile este un exemplu specific de medie trunchiată. Este pur și simplu media aritmetică după eliminarea celui mai mic și cel mai mare sfert de valori.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

presupunând că valorile au fost ordonate, deci este pur și simplu un exemplu specific de medie ponderată pentru un set specific de greutăți.

Media unei funcții Editare

În unele circumstanțe, matematicienii pot calcula media unui set infinit (sau chiar un nenumărat) de valori. Acest lucru se poate întâmpla atunci când se calculează valoarea medie y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} a unei funcții f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitiv, o medie a unei funcții poate fi gândită ca calculând aria sub o secțiune a unei curbe și apoi împărțind la lungimea acelei secțiuni. Acest lucru se poate face brut prin numărarea pătratelor pe hârtie milimetrică sau mai precis prin integrare. Formula de integrare este scrisă astfel:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

În acest caz, trebuie să se asigure că integrala converge. Dar media poate fi finită chiar dacă funcția în sine tinde spre infinit în anumite puncte.

Media unghiurilor și a mărimilor ciclice Modificați

Unghiurile, orele zilei și alte mărimi ciclice necesită modulare. aritmetică pentru a adăuga și combina altfel numere. În toate aceste situații, nu va exista o medie unică. De exemplu, orele cu o oră înainte și după miezul nopții sunt echidistante atât la miezul nopții, cât și la amiază. Este, de asemenea, posibil să nu existe niciun mijloc. Luați în considerare o roată de culori – nu există nicio mijloace pentru setul de culori. În aceste situații, trebuie să decideți ce medie este cea mai utilă. Puteți face acest lucru ajustând valorile înainte de efectuarea mediei sau utilizând o abordare specializată pentru media mărimilor circulare.

Fréchet meanEdit

Media Fréchet oferă o modalitate de determinare a „ centrul „unei distribuții de masă pe o suprafață sau, mai general, pe o varietate riemanniană. Spre deosebire de multe alte mijloace, media Fréchet este definită pe un spațiu ale cărui elemente nu pot fi neapărat adăugate împreună sau înmulțite cu scalari. Este uneori cunoscută și ca medie Karcher (numită după Hermann Karcher).

Swanson ” s ruleEdit

Aceasta este o aproximare la media pentru o distribuție moderat înclinată. Este utilizată în explorarea hidrocarburilor și este definită ca

m = 0.3 P 10 + 0.4 P 50 + 0.3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

unde P10, P50 și P90 percentilele 10, 50 și 90 ale distribuției.

Alte mijloace Editați