Independente și reciproc excludente nu înseamnă același lucru.

Evenimente independente

Două evenimente sunt independente dacă următoarele sunt adevărate:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A ȘI B) = P (A) P (B)

Două evenimente A și B sunt independente dacă știința că unul a avut loc nu afectează șansa ca celălalt să apară. De exemplu, rezultatele a două roluri ale unei morți echitabile sunt evenimente independente. Rezultatul primei aruncări nu modifică probabilitatea rezultatului celei de a doua aruncări. Pentru a arăta că două evenimente sunt independente, trebuie să afișați doar una dintre condițiile de mai sus.

Dacă două evenimente NU sunt independente, atunci spunem că sunt dependente.

Eșantionarea se poate face cu înlocuire sau fără înlocuire.

• Cu înlocuire: dacă fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, atunci acel membru are posibilitatea de a fi ales de mai multe ori. Când eșantionarea se face cu înlocuire, atunci evenimentele sunt considerate a fi independente, ceea ce înseamnă că rezultatul primei alegeri nu va schimba probabilitățile pentru a doua alegere.
• Fără înlocuire: când eșantionarea se face fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată. În acest caz, probabilitățile pentru a doua alegere sunt afectate de rezultatul primei alegeri. Evenimentele sunt considerate dependente sau nu independente.

Dacă nu se știe dacă A și B sunt independente sau dependente, presupuneți că sunt dependente până când nu puteți arăta altfel.

1. Eșantionare cu înlocuire: Să presupunem că alegeți trei cărți cu înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este
   Q de pică. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a doua carte din pachetul de 52 de cărți. Este zece cluburi. Pui această carte înapoi, remaniează cărțile și alegi o a treia carte din pachetul de 52 de cărți. De data aceasta, cardul este din nou Q de pică. Alegerile dvs. sunt {Q de pică, zece de bâte, Q de pică}. Ați ales Q de pică de două ori. Alegeți fiecare carte din pachetul de 52 de cărți.
2. Eșantionare fără înlocuire: Să presupunem că alegeți trei cărți fără înlocuire. Prima carte pe care o alegeți din cele 52 de cărți este
   K a inimilor. Pui această carte deoparte și alegi a doua carte din cele 51 de cărți rămase în pachet. Este cel al trei diamante. Puneți această carte deoparte și alegeți a treia carte dintre cele 50 de cărți rămase din pachet. A treia carte este J-ul de pică. Alegerile dvs. sunt {K de inimi, trei de diamante, J de pică}. Deoarece ați ales cărțile fără înlocuire, nu puteți alege aceeași carte de două ori.

Exemplul 1

1. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Q de pică, K de inimi și Q de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
   Afișați răspunsul

   Eșantionarea cu înlocuire

2. Să presupunem că știți că cărțile alese sunt Q de pică, K de inimi și J de pică. Puteți decide dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire?
   Afișați răspunsul

   Nu, nu putem spune dacă eșantionarea a fost cu sau fără înlocuire.

Exemplul 2

1. Să presupunem că alegeți patru cărți, dar nu puneți nici o carte înapoi în pachet. Cardurile dvs. sunt QS, 1D, 1C, QD.
2. Să presupunem că alegeți patru cărți și puneți fiecare carte înapoi înainte de a alege următoarea carte. Cardurile dvs. sunt KH, 7D, 6D, KH.

Pe care dintre 1 sau 2 le-ați probat cu înlocuire și pe care le-ați prelevat fără înlocuire?

Acest videoclip oferă o scurtă lecție despre găsirea probabilității evenimentelor independente.

Evenimente care se exclud reciproc

A și B sunt evenimente care se exclud reciproc dacă nu pot apărea la acelasi timp. Aceasta înseamnă că A și B nu împărtășesc niciun rezultat și P (A ȘI B) = 0.

De exemplu, să presupunem că spațiul eșantion S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Fie A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} și C = {7, 9}.

Dacă nu se știe dacă A și B se exclud reciproc, presupuneți că nu sunt până când nu puteți arăta altfel. Următoarele exemple ilustrează aceste definiții și termeni.

Exemplul 3

Întoarceți două monede corecte. (Acesta este un experiment.)

Spațiul eșantionului este {HH, HT, TH, TT} unde T = cozi și H = capete. Rezultatele posibile sunt HH, HT, TH și TT. Rezultatele HT și TH sunt diferite. HT înseamnă că prima monedă arăta capete și a doua monedă arăta cozi. TH înseamnă că prima monedă arăta cozi și a doua monedă arăta capete.

Exemplul 4

Răsuciți două monede corecte.Găsiți probabilitățile evenimentelor.

1. Fie F = evenimentul de a obține cel mult o coadă (zero sau o coadă).
2. Fie G = evenimentul de a obține două fețe care sunt aceleași.
3. Fie H = evenimentul de a obține un cap pe primul flip urmat de un cap sau coadă pe al doilea flip.
4. F și G se exclud reciproc ?
5. Să fie J = evenimentul de a obține toate cozile. J și H se exclud reciproc?

Acest videoclip oferă încă două exemple de găsire a probabilității evenimentelor care se exclud reciproc.

Exemplul 5

Lansați o matriță dreaptă, cu șase fețe. Spațiul eșantion este {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Să eveniment
A = o față este ciudată. Apoi A = {1, 3, 5}. Să evenimentul B = o față este uniformă. Apoi B = {2, 4, 6}.

Exemplul 6

Sugestie: Dacă G și H sunt independente, atunci trebuie să afișați UNUL dintre următoarele:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G ȘI H) = P (G) P ( H)

Întrucât G și H sunt independenți, știind că o persoană urmează un curs de știință nu schimbă șansa ca acesta să urmeze un curs de matematică. Dacă cele două evenimente nu ar fi fost independente (adică sunt dependente), atunci știind că o persoană urmează un curs de știință ar schimba șansa de a lua matematică.

Exemplul 7

Să evenimentul C = să ia un curs de engleză. Fie evenimentul D = luarea unei clase de vorbire.

Să presupunem că P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 și P (C ȘI D) = 0,225.

Justificați numeric răspunsurile la următoarele întrebări.

Exemplul 8

Într-o casetă există trei cărți roșii și cinci cărți albastre. Cărțile roșii sunt marcate cu numerele 1, 2 și 3, iar cărțile albastre sunt marcate cu numerele 1, 2, 3, 4 și 5. Cărțile sunt bine amestecate. Ajungi în casetă (nu poți vedea în ea) și tragi o carte.

Să se tragă R = cartonaș roșu, B = cartea albastră este extrasă, E = cartea numerotată pare.

Spațiul eșantion S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S are opt rezultate.

Exemplul 9

Într-o anumită clasă de facultate, 60% din urgenții sunt de sex feminin. Cincizeci la sută din toți elevii din clasă au părul lung. Patruzeci și cinci la sută dintre studenți sunt femei și au părul lung. Dintre elevele, 75% au părul lung. Fie evenimentul în care un student este femeie. Să fie L evenimentul în care un student are părul lung. Un elev este ales la întâmplare. Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung sunt independente?

• Următoarele probabilități sunt date în acest exemplu:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F ȘI L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Interpretarea rezultatelor

Evenimentele de a fi femeie și de a avea părul lung nu sunt independente; știind că un student este femeie schimbă probabilitatea ca un student să aibă părul lung.

Exemplul 10

Date de la Gallup. Disponibil online la www.gallup.com/ (accesat la 2 mai 2013).

Concept Review

Două evenimente A și B sunt independente dacă cunoștințele despre care s-a produs nu afectează sansa sa apara cealalta. Dacă două evenimente nu sunt independente, atunci spunem că sunt dependente.

În eșantionarea cu înlocuire, fiecare membru al unei populații este înlocuit după ce este ales, astfel încât acel membru are posibilitatea de a fi ales mai mult de o dată, iar evenimentele sunt considerate a fi independente. În eșantionarea fără înlocuire, fiecare membru al unei populații poate fi ales o singură dată, iar evenimentele sunt considerate a nu fi independente. Când evenimentele nu împărtășesc rezultatele, ele se exclud reciproc.

Revizuirea formulei

Dacă A și B sunt independente, P (A ȘI B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) și P (B | A) = P (B).

Dacă A și B se exclud reciproc, P (A SAU B) = P (A) + P (B) și P (A ȘI B) = 0.