Det elektriska fältet nära en mycket lång enhetligt laddad WireEdit

Som vi har sett är det elektriska fältet runt en punktladdning sfäriskt symmetrisk och omvänt proportionell mot Avståndets kvadrat. Det finns två andra geometriska konfigurationer som är värda att titta på.

Om vi har en ”oändligt lång” linjär samling av enhetligt fördelad laddning (det vill säga en lång laddad tråd) kan vi bestämma det närliggande elektriska fältet genom integration. Låt laddningen per längdenhet vara λ {\ displaystyle \ lambda} coulombs per meter.

Vid en given punkt på avstånd b {\ displaystyle b} från ledningen, bidraget till fältet från en oändlig del av trådens längd d ℓ {\ displaystyle d \ ell} är:

dq 4 π ϵ R 2 = λ d ℓ 4 π ϵ R 2 {\ displaystyle {\ frac {dq} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} = {\ frac {\ lambda d \ ell} { 4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {2}}} \}

Komponenten i den vektorn som pekar vinkelrätt bort från tråden är:

λ 4 π ϵ R 2 sin ⁡ θ d ℓ = λ b 4 π ϵ R 3 d ℓ = λ b 4 π ϵ (b 2 + ℓ 2) 3/2 d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {4 \ pi \ epsilon \, { \ mathcal {R}} ^ {2}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}} ^ {3}}} d \ ell = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon \, (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} d \ ell} λ b 4 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ (b 2 + ℓ 2) 3/2 = λ b 4 π ϵ 1 b 2 ℓ b 2 + ℓ 2 | – ∞ ∞ = λ 2 π ϵ b {\ displaystyle {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { (b ^ {2} + \ ell ^ {2}) ^ {3/2}}} = {\ frac {\ lambda b} {4 \ pi \ epsilon}} {\ frac {1} {b ^ {2 }}} \ vänster. {\ frac {\ ell} {\ sqrt {b ^ {2} + \ ell ^ {2}}}} \ höger | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, b}}}

Fältet pekar vinkelrätt bort från tråden och är omvänt proportionellt mot separationsavståndets första effekt.

Gör det tråd måste vara oändligt lång? Nej; detta är bara en approximation till den oändliga gränsen. Uppskattningen är bra så länge man är mycket närmare ledningen än trådens längd.

Det elektriska fältet nära en mycket stor enhetligt laddad planredigering

En annan mycket viktig geometrisk konfiguration är ett ”oändligt stort” platt plan med enhetlig laddningsfördelning. Vi delar planet i många tunna parallella remsor med bredden dl. Om laddningstätheten per planenhet är σ {\ displaystyle \ sigma} coulombs per kvadratmeter, vardera remsan har en linjär laddningstäthet på

λ = σ d ℓ {\ displaystyle \ lambda = \ sigma d \ ell \,}

coulombs per meter.

Vi använder resultatet av föregående avsnitt, och i huvudsak samma diagram. Remsorna körs nu in i eller ut från sidan / skärmen och remsorna ”tvärsnitt visas från vänster till höger på diagrammet. Fältet vid intressepunkten är:

λ 2 π ϵ R = σ 2 π ϵ R d ℓ {\ displaystyle {\ frac {\ lambda} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R} }}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} d \ ell}

Komponenten uppåt (med symmetri kommer det totala fältet att peka vinkelrätt ut från plan) är:

σ 2 π ϵ R sin ⁡ θ d ℓ = σ R 2 π ϵ R 2 d ℓ = σ b 2 π ϵ (b 2 + ℓ 2) d ℓ {\ displaystyle {\ frac { \ sigma} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R}}}} \ \ sin \ theta d \ ell = {\ frac {\ sigma R} {2 \ pi \ epsilon \, {\ mathcal {R }} ^ {2}}} \ d \ ell = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon (b ^ {2} + \ ell ^ {2})}} \ d \ ell}

Den totala komponenten uppåt i fältet erhålls genom att integrera:

E = σ b 2 π ϵ ∫ – ∞ ∞ d ℓ b 2 + ℓ 2 = σ 2 π ϵ tan – 1 ⁡ ℓ b | – ∞ ∞ = σ 2 ϵ {\ displaystyle E = {\ frac {\ sigma b} {2 \ pi \ epsilon}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {d \ ell} { b ^ {2} + \ ell ^ {2}}} = {\ frac {\ sigma} {2 \ pi \ epsilon}} \ vänster. \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ ell} {b} } \ right | _ {- \ infty} ^ {\ infty} = {\ frac {\ sigma} {2 \ epsilon}}}

Fältet pekar vinkelrätt bort från planet och är oberoende av separationsavståndet. Det vill säga det är oberoende så länge man stannar så nära planet att det verkar vara nästan oändligt.

Tillämpning: Det elektriska fältet inuti en parallellplatskondensator Redigera

Newtons lagar antar att nettokraften är summan av alla krafter, ma = ΣFj (summa över j). Eftersom det elektriska fältet, E, definieras genom Coulombs lag via F = qE, det enklaste möjliga antagandet är att det elektriska fältet är summan av de enskilda elektriska fälten på grund av varje laddning. Denna princip kallas superposition (eller linjär superposition) och den håller åtminstone ner till de storlekar som är mindre än atomkärnan. I själva verket har vi implicit antagit superposition genom att integrera för att erhålla det elektriska fältet på grund av linje- och ytladdningar. Som visas i figuren lägger de elektriska fälten konstruktivt till i utrymmet mellan plattorna.De lägger till destruktivt (dvs de subtraherar) utanför de två plattorna och lägger till noll elektrisk fält. Därför är det elektriska fältet mellan plattorna

 E = σ ϵ {\displaystyle E={\frac {\sigma }{\epsilon }}} (in the limit that the plates are very large and/or very close together)