Oberoende och ömsesidigt uteslutande betyder inte samma sak.

Oberoende händelser

Två händelser är oberoende om följande är sanna:

• P (A | B) = P (A)
• P (B | A) = P (B)
• P (A OCH B) = P (A) P (B)

Två händelser A och B är oberoende om kunskapen att en inträffade inte påverkar chansen att den andra inträffar. Till exempel är resultaten av två roller i en rättvis form oberoende händelser. Resultatet av den första rullen förändrar inte sannolikheten för resultatet av den andra rullen. För att visa att två händelser är oberoende måste du bara visa ett av ovanstående villkor.

Om två händelser INTE är oberoende, säger vi att de är beroende.

Provtagning kan göras med ersättning eller utan ersättning.

• Med ersättning: Om varje medlem av en befolkning byts ut efter att den har plockats, har den medlemmen möjligheten att väljas mer än en gång. När provtagning görs med ersättning, anses händelser vara oberoende, vilket innebär att resultatet av det första valet inte kommer att ändra sannolikheten för det andra valet.
• Utan ersättning: När provtagningen görs utan ersättning, var och en medlem av en befolkning får endast väljas en gång. I detta fall påverkas sannolikheten för det andra valet av resultatet av det första valet. Händelserna anses vara beroende eller inte oberoende.

Om det inte är känt om A och B är oberoende eller beroende, antar att de är beroende tills du kan visa något annat.

1. Provtagning med ersättning: Antag att du väljer tre kort med ersättning. Det första kortet du väljer ut av de 52 korten är spadens Q-tal. Du lägger tillbaka detta kort, blandar om korten och väljer ett andra kort från 52-kortlek. Det är tio klubbar. Du lägger tillbaka det här kortet, blandar om korten och väljer ett tredje kort från 52-kortlek. Den här gången är kortet spadens Q igen. Dina val är {Q av spader, tio av klubbar, Q av spader}. Du har valt spadens Q två gånger. Du väljer varje kort från 52-kortlek.
2. Provtagning utan utbyte: Antag att du väljer tre kort utan utbyte. Det första kortet du väljer av de 52 korten är hjärtans K. Du lägger detta kort åt sidan och väljer det andra kortet från de 51 kort som finns kvar i kortlekarna. Det är de tre diamanterna. Du lägger detta kort åt sidan och väljer det tredje kortet från de återstående 50 korten i kortlek. Det tredje kortet är J av spader. Dina val är {K av hjärtan, tre av diamanter, J av spader}. Eftersom du har valt korten utan att byta ut kan du inte välja samma kort två gånger.

Exempel 1

1. Antag att du vet att de valda korten är Q av spader, K av hjärtan och Q av spader. Kan du bestämma om provtagningen var med eller utan ersättning?
   Visa svar

   Provtagning med ersättning

2. Antag att du vet att de valda korten är Q-spader, K-hjärtan och J-spader. Kan du bestämma om provtagningen var med eller utan ersättning?
   Visa svar

   Nej, vi kan inte säga om provtagningen var med eller utan ersättning.

Exempel 2

1. Antag att du väljer fyra kort men inte lägger tillbaka några kort i kortlekarna. Dina kort är QS, 1D, 1C, QD.
2. Antag att du väljer fyra kort och lägger tillbaka varje kort innan du väljer nästa kort. Dina kort är KH, 7D, 6D, KH.

Vilken av 1 eller 2 provade du med ersättning och vilken samlade du utan ersättning?

Den här videon ger en kort lektion om hur man hittar sannolikheten för oberoende händelser.

Ömsesidigt exklusiva händelser

A och B är ömsesidigt exklusiva händelser om de inte kan inträffa vid samma tid. Detta innebär att A och B inte delar några resultat och P (A OCH B) = 0.

Antag till exempel att provutrymmet S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Låt A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {4, 5, 6, 7, 8} och C = {7, 9}.

Om det inte är känt om A och B utesluter varandra, antar att de inte är det förrän du kan visa något annat. Följande exempel illustrerar dessa definitioner och termer.

Exempel 3

Vänd två rättvisa mynt. (Detta är ett experiment.)

Provutrymmet är {HH, HT, TH, TT} där T = svansar och H = huvuden. De möjliga resultaten är HH, HT, TH och TT. Resultaten HT och TH är olika. HT betyder att det första myntet visade huvuden och det andra myntet visade svansar. TH betyder att det första myntet visade svansar och det andra myntet visade huvuden.

Exempel 4

Vänd två rättvisa mynt.Hitta sannolikheten för händelserna.

1. Låt F = händelsen att få högst en svans (noll eller en svans).
2. Låt G = händelsen att få två ansikten som är desamma.
3. Låt H = händelsen att få ett huvud på den första vändningen följt av ett huvud eller svans på den andra vändningen.
4. Är F och G ömsesidigt uteslutande ?
5. Låt J = händelsen att få alla svansar. Är J och H ömsesidigt exklusiva?

Den här videon ger ytterligare två exempel för att hitta sannolikheten för händelser som utesluter varandra.

Exempel 5

Rulla en rättvis, sexsidig matris. Provutrymmet är {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Låt händelsen
A = ett ansikte är udda. Sedan A = {1, 3, 5}. Låt händelse B = ett ansikte är jämnt. Då B = {2, 4, 6}.

Exempel 6

Tips: Om G och H är oberoende måste du visa EN av följande:

• P (G | H) = P (G)
• P (H | G) = P (H)
• P (G OCH H) = P (G) P ( H)

Eftersom G och H är oberoende, förändrar inte vetskapen om att en person tar en naturvetenskapskurs chansen att han eller hon tar en matematikklass. Om de två händelserna inte hade varit oberoende (det vill säga de är beroende) skulle vetskapen om att en person går på en naturvetenskapskurs förändra chansen att han eller hon tar matte.

Exempel 7

Låt händelse C = ta en engelskkurs. Låt händelse D = ta en talklass.

Antag att P (C) = 0,75, P (D) = 0,3, P (C | D) = 0,75 och P (C OCH D) = 0,225.

Motivera dina svar på följande frågor numeriskt.

Exempel 8

I en ruta finns tre röda kort och fem blå kort. De röda korten är markerade med siffrorna 1, 2 och 3 och de blå korten är markerade med siffrorna 1, 2, 3, 4 och 5. Korten är väl blandade. Du når in i rutan (du kan inte se in i den) och drar ett kort.

Låt R = rött kort dras, B = blått kort dras, E = jämnt numrerat kort dras.

Provutrymmet S = R1, R2, R3, B1, B2, B3, B4, B5. S har åtta resultat.

Exempel 9

I en viss högskoleklass är 60% av udents är kvinnliga. Femtio procent av alla elever i klassen har långt hår. Fyrtiofem procent av studenterna är kvinnor och har långt hår. Av de kvinnliga studenterna har 75% långt hår. Låt F vara händelsen att en student är kvinna. Låt L vara händelsen att en student har långt hår. En elev väljs slumpmässigt. Är händelserna med att vara kvinna och ha långt hår oberoende?

• Följande sannolikheter ges i detta exempel:
• P (F) = 0,60; P (L) = 0,50
• P (F OCH L) = 0,45
• P (L | F) = 0,75

Tolkning av resultat

Händelserna med att vara kvinna och ha långt hår är inte oberoende; att veta att en student är kvinna ändrar sannolikheten för att en student har långt hår.

Exempel 10

Data från Gallup. Tillgängligt online på www.gallup.com/ (nås den 2 maj 2013).

Konceptöversyn

Två händelser A och B är oberoende om kunskapen om att en inträffade inte påverkar chans att den andra inträffar. Om två händelser inte är oberoende, säger vi att de är beroende.

Vid provtagning med ersättning byts varje medlem av en befolkning ut efter att den har valts, så att medlemmen har möjlighet att väljas mer än en gång, och händelserna anses vara oberoende. Vid provtagning utan ersättning kan varje befolkningsmedlem endast väljas en gång, och händelserna anses inte vara oberoende. När händelser inte delar resultat utesluter de varandra.

Formelgranskning

Om A och B är oberoende är P (A OCH B) = P (A) P (B), P (A | B) = P (A) och P (B | A) = P (B).

Om A och B utesluter varandra är P (A ELLER B) = P (A) + P (B) och P (A OCH B) = 0.