AlgebraEdit

GroupsEdit

Med tanke på en grupp G {\ displaystyle G} och en filtrering G n {\ displaystyle G_ {n}} finns det ett naturligt sätt att definiera en topologi på G {\ displaystyle G}, som sägs vara associerad med filtrering. En grund för denna topologi är uppsättningen av alla översättningar av undergrupper som visas i filtreringen, det vill säga en delmängd av G {\ displaystyle G} definieras som öppen om den är en sammansättning av uppsättningar av formen a G n {\ displaystyle aG_ {n}}, där a ∈ G {\ displaystyle a \ i G} och n {\ displaystyle n} är ett naturligt tal.

Topologin associerad med en filtrering på en grupp G {\ displaystyle G} gör G {\ displaystyle G} till en topologisk grupp.

Ringar och moduler: fallande filtreringarRedigera

Givet en ring R {\ displaystyle R} och en R {\ displaystyle R} -modul M {\ displaystyle M}, en fallande filtrering av M {\ displaystyle M} är en minskande sekvens av submoduler M n {\ displaystyle M_ {n}}. Detta är därför ett speciellt fall av begreppet grupper, med det ytterligare villkoret att undergrupperna är submoduler. Tillhörande topologi definieras som för grupper.

Ringar och moduler: stigande filtreringar Redigera

SetsEdit

Mätteori Redigera

t 1 ≤ t 2 ⟹ F t 1 ⊆ F t 2. {\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2} \ innebär {\ mathcal {F}} _ {t_ {1}} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t_ {2}}.}

Det exakta intervallet för ”tider” t {\ displaystyle t} beror vanligtvis på sammanhanget: uppsättningen värden för t {\ displaystyle t} kan vara diskret eller kontinuerlig, begränsad eller obegränsad. Till exempel

t ∈ {0, 1,…, N}, N 0 eller {\ mbox {eller}} [0, + \ infty).} F ∞ = σ (⋃ t ≥ 0 F t ) ⊆ F. {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ infty} = \ sigma \ left (\ bigcup _ {t \ geq 0} {\ mathcal {F}} _ {t} \ right) \ subseteq {\ mathcal { F}}.}

En σ-algebra definierar uppsättningen händelser som kan mätas, vilket i ett sannolikhetskontext motsvarar händelser som kan diskrimineras, eller ”frågor som kan besvaras vid tidpunkten t {\ displaystyle t } ”. Därför används ofta en filtrering för att representera förändringen i uppsättningen händelser som kan mätas genom vinst eller förlust av information. Ett typiskt exempel är i matematisk ekonomi, där en filtrering representerar den tillgängliga informationen till och med varje gång t {\ displaystyle t}, och är mer och mer exakt (uppsättningen mätbara händelser förblir densamma eller ökar) som mer information från utvecklingen av aktiekursen blir tillgänglig.

Förhållande till stopptider: stopptid sigma-algebrasRedigera

F τ : = {A ∈ F: A ∩ {τ ≤ t} ∈ F t, ∀ t ≥ 0} {\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {\ tau}: = \ left \ {A \ in {\ mathcal {F}}: A \ cap \ {\ tau \ leq t \} \ i {\ mathcal {F}} _ {t}, \ \ all t \ geq 0 \ right \}}.