Pythagorean MeansEdit

Aritmetiskt medelvärde (AM) Redigera

x ¯ = 1 n (∑ i = 1 nxi) = x 1 + x 2 + ⋯ + xnn {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {1} {n}} \ vänster ( \ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ höger) = {\ frac {x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}} {n}}}

Till exempel är det aritmetiska medelvärdet av fem värden: 4, 36, 45, 50, 75:

4 + 36 + 45 + 50 + 75 5 = 210 5 = 42. {\ displaystyle {\ frac { 4 + 36 + 45 + 50 + 75} {5}} = {\ frac {210} {5}} = 42.}

Geometriskt medelvärde (GM) Redigera

Det geometriska medelvärdet är ett medelvärde som är användbart för uppsättningar av positiva tal som tolkas enligt deras produkt (som är fallet med tillväxttakt) och inte deras summa (som är fallet med det aritmetiska medelvärdet):

x ¯ = ( ∏ i = 1 nxi) 1 n = (x 1 x 2 ⋯ xn) 1 n {\ displaystyle {\ bar {x}} = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i} } \ höger) ^ {\ frac {1} {n}} = \ vänster (x_ {1} x_ {2} \ cdots x_ {n} \ höger) ^ {\ frac {1} {n}}}

Till exempel det geometriska mea n av fem värden: 4, 36, 45, 50, 75 är:

(4 × 36 × 45 × 50 × 75) 1 5 = 24 300 000 5 = 30. {\ displaystyle (4 \ gånger 36 \ gånger 45 \ gånger 50 \ gånger 75) ^ {\ frac {1} {5}} = {\ sqrt {24 \; 300 \; 000}} = 30.}

Harmoniskt medelvärde (HM) Redigera

Det harmoniska medelvärdet är ett medelvärde som är användbart för taluppsättningar som definieras i förhållande till någon enhet, som i fallet med hastighet (dvs. avstånd per tidsenhet):

x ¯ = n (∑ i = 1 n 1 xi) – 1 {\ displaystyle {\ bar {x}} = n \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {1} {x_ {i}} } \ höger) ^ {- 1}}

Till exempel är det harmoniska medelvärdet av de fem värdena: 4, 36, 45, 50, 75

5 1 4 + 1 36 + 1 45 + 1 50 + 1 75 = 5 1 3 = 15. {\ displaystyle {\ frac {5} {{\ tfrac {1} {4}} + {\ tfrac {1} {36}} + {\ tfrac {1} {45 }} + {\ tfrac {1} {50}} + {\ tfrac {1} {75}}}} = {\ frac {5} {\; {\ tfrac {1} {3}} \;}} = 15.}

Förhållandet mellan AM, GM och HMEdit

AM, GM och HM uppfyller dessa ojämlikheter:

AM ≥ GM ≥ HM {\ displaystyle \ mathrm {AM} \ geq \ mathrm {GM} \ geq \ mathrm {HM} \,}

Jämställdhet gäller om och endast om alla element i det givna urvalet är lika.

Statistisk platsRedigera

I beskrivande statistik kan medelvärdet förväxlas med medianen, läget eller mellanområdet, eftersom någon av dessa kan kallas ett ”genomsnitt” (mer formellt, en mått på central tendens). Medelvärdet för en uppsättning observationer är det aritmetiska genomsnittet av värdena; för snedfördelningar är emellertid medelvärdet inte nödvändigtvis detsamma som medelvärdet (median) eller det mest troliga värdet (läge). Till exempel snedställs medelinkomsten vanligtvis uppåt av ett litet antal personer med mycket stora inkomster, så att majoriteten har en inkomst som är lägre än medelvärdet. Däremot är medianinkomsten den nivå där hälften av befolkningen är under och hälften över. Modeinkomsten är den mest troliga inkomsten och gynnar det större antalet människor med lägre inkomster. Medan median och läge ofta är mer intuitiva mått för sådana snedställda data, beskrivs många skeva fördelningar faktiskt bäst av deras medel, inklusive de exponentiella och Poisson-fördelningarna.

Medel för en sannolikhetsfördelning Redigera

Medelvärdet för en sannolikhetsfördelning är det långsiktiga aritmetiska medelvärdet för en slumpmässig variabel som har den fördelningen. Om den slumpmässiga variabeln betecknas med X {\ displaystyle X}, är den också känd som det förväntade värdet på X {\ displaystyle X} (betecknad E (X) {\ displaystyle E (X)}). För en diskret sannolikhetsfördelning ges medelvärdet av ∑ x P (x) {\ displaystyle \ textstyle \ sum xP (x)}, där summan tas över alla möjliga värden för den slumpmässiga variabeln och P (x) {\ displaystyle P (x)} är sannolikhetsfunktionen. För en kontinuerlig fördelning är medelvärdet ∫ – ∞ ∞ xf (x) dx {\ displaystyle \ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} xf (x) \, dx}, där f (x) { \ displaystyle f (x)} är sannolikhetsdensitetsfunktionen. I alla fall, inklusive de där distributionen varken är diskret eller kontinuerlig, är medelvärdet Lebesgue-integralen av den slumpmässiga variabeln med avseende på dess sannolikhetsmått.Medlet behöver inte existera eller vara ändligt; för vissa sannolikhetsfördelningar är medelvärdet oändligt (+ ∞ eller −∞), medan för andra är medelvärdet odefinierat. generaliserat medelvärde, även känt som kraftmedelvärdet eller Hölder-medelvärdet, är en abstraktion av kvadratiska, aritmetiska, geometriska och harmoniska medel. Det definieras för en uppsättning n positiva tal xi av

x ¯ (m) = (1 n ∑ i = 1 nxim) 1 m {\ displaystyle {\ bar {x}} (m) = \ left ( {\ frac {1} {n}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} ^ {m} \ right) ^ {\ frac {1} {m}}}

Genom att välja olika värden för parametern m, följande typer av medel erhålls:

f-meanEdit

Detta kan generaliseras ytterligare som det generaliserade f-medel

x ¯ = f – 1 (1 n ∑ i = 1 nf (xi)) {\ displaystyle {\ bar {x}} = f ^ {- 1} \ left ({{\ frac {1} {n}} \ sum _ { i = 1} ^ {n} {f \ left (x_ {i} \ right)}} \ right)}

och återigen kommer ett lämpligt val av en inverterbar f att ge

Vägt aritmetiskt medelredigera

Det vägda aritmetiska medelvärdet (eller det vägda genomsnittet) används om man vill kombinera medelvärden från olika storlekar av samma population:

x ¯ = ∑ i = 1 nwixi ¯ ∑ i = 1 nwi. {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {\ sum _ {i = 1} ^ {n} {w_ {i} {\ bar {x_ {i}}}}} {\ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i}}}.}

Trunkerat medelredigera

Ibland kan en uppsättning siffror innehålla outliers (dvs. datavärden som är mycket lägre eller mycket högre än andra). Ofta är avvikare felaktiga data orsakade av artefakter. I detta fall kan man använda ett avkortat medelvärde. Det innebär att man kasserar givna delar av datan i den övre eller nedre änden, vanligtvis lika mycket i varje ände och sedan tar det aritmetiska medelvärdet för de återstående uppgifterna. Antalet borttagna värden indikeras som en procentandel av det totala antalet värden.

Interkvartil medelvärde Redigera

Interkvartil medelvärde är ett specifikt exempel på ett trunkerat medelvärde. Det är helt enkelt det aritmetiska medelvärdet efter att man har tagit bort det lägsta och det högsta kvartalet av värden.

x ¯ = 2 n ∑ i = n 4 + 1 3 4 nxi {\ displaystyle {\ bar {x}} = {\ frac {2} {n}} \; \ sum _ {i = {\ frac {n} {4}} + 1} ^ {{\ frac {3} {4}} n} \! \! X_ {i} }

förutsatt att värdena har ordnats, så är helt enkelt ett specifikt exempel på ett viktat medelvärde för en viss viktuppsättning.

Medel för en funktion Redigera

I vissa fall kan matematiker beräkna ett medelvärde för en oändlig (eller till och med en oräknelig) uppsättning värden. Detta kan hända vid beräkning av medelvärdet y ave {\ displaystyle y _ {\ text {ave}}} för en funktion f (x) {\ displaystyle f (x)}. Intuitivt kan man tänka på ett medelvärde för en funktion som att beräkna arean under ett kurvparti och sedan dividera med längden på det avsnittet. Detta kan göras grovt genom att räkna rutor på grafpapper, eller mer exakt genom integration. Integrationsformeln skrivs som:

y ave (a, b) = 1 b – a ∫ abf (x) dx {\ displaystyle y _ {\ text {ave}} (a, b) = {\ frac { 1} {ba}} \ int \ limits _ {a} ^ {b} \! F (x) \, dx}

I det här fallet måste man se till att integralen konvergerar. Men medelvärdet kan vara ändligt även om själva funktionen tenderar att vara oändlig vid vissa punkter.

Medelvinkel för vinklar och cykliska mängder Redigera

Vinklar, tider på dagen och andra cykliska kvantiteter kräver modulära aritmetik för att lägga till och på annat sätt kombinera siffror. I alla dessa situationer kommer det inte att finnas ett unikt medelvärde. Till exempel är tiderna en timme före och efter midnatt lika stora som både midnatt och middagstid. Det är också möjligt att det inte finns något medelvärde. Tänk på ett färghjul – det finns inget medelvärde för uppsättningen av alla färger. I dessa situationer måste du bestämma vilket medelvärde som är mest användbart. Du kan göra detta genom att justera värdena innan medelvärdet eller genom att använda en specialmetod för medelvärdet av cirkulära kvantiteter.

Fréchet meanEdit

Fréchet-medelvärdet ger ett sätt att bestämma ” centrum ”för en massfördelning på en yta eller, mer allmänt, Riemannian grenrör. Till skillnad från många andra medel definieras Fréchet-medelvärdet i ett utrymme vars element inte nödvändigtvis kan läggas ihop eller multipliceras med skalärer. Det kallas ibland också för Karcher-medelvärdet (uppkallat efter Hermann Karcher). s ruleEdit

Detta är en approximation till medelvärdet för en måttligt sned fördelning. Det används vid kolväteutforskning och definieras som

m = 0,3 P 10 + 0,4 P 50 + 0,3 P 90 { \ displaystyle m = 0.3P_ {10} + 0.4P_ {50} + 0.3P_ {90}}

där P10, P50 och P90 10, 50 och 90 procent av distributionen.

Andra medel Redigera