Um die Verteilung einer diskreten Zufallsvariablen zu bestimmen, können wir entweder deren PMF oder CDF bereitstellen. Für kontinuierliche Zufallsvariablen ist die CDF gut definiert, sodass wir die CDF bereitstellen können. Die PMF funktioniert jedoch nicht für kontinuierliche Zufallsvariablen, da für eine kontinuierliche Zufallsvariable $ P (X = x) = 0 $ für alle $ x \ in \ mathbb {R} $ gilt. Stattdessen können wir normalerweise die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) definieren. Das PDF ist eher die Wahrscheinlichkeitsdichte als die Wahrscheinlichkeitsmasse. Das Konzept ist der Massendichte in der Physik sehr ähnlich: Seine Einheit ist die Wahrscheinlichkeit pro Längeneinheit. Um ein Gefühl für PDF zu bekommen, betrachten Sie eine kontinuierliche Zufallsvariable $ X $ und definieren Sie die Funktion $ f_X (x) $ wie folgt (wo immer die Grenze existiert): $$ f_X (x) = \ lim _ {\ Delta \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {P (x

$$ f_X (x) = \ lim _ {\ Delta \ rightarrow 0} \ frac {F_X (x + \ Delta) -F_X (x)} {\ Delta} $$ $$ = \ frac {dF_X (x)} {dx} = F “ _X (x), \ hspace {20pt} \ textrm {if} F_X (x) \ textrm {ist differenzierbar bei} x. $$

Somit haben wir die folgende Definition für die PDF mit kontinuierlichen Zufallsvariablen:

Beispiel
Sei $ X $ eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der folgenden PDF \ begin {Gleichung} \ nonumber f_X (x) = \ left \ {\ begin {array} {ll} ce ^ {- x} & \ quad x \ geq 0 \\ 0 & \ quad \ text {sonst} \ end {array} \ right. \ end {Gleichung} wobei $ c $ ist eine positive Konstante.

1. Finde $ c $.
2. Finde die CDF von X, $ F_X (x) $.
3. Finde $ P (1

Reichweite